Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2018.1, Questão Q02a

a) Calcule:

d x x 2 x 2 - 4

Passo 1

Geralmente quando a gente pega uma integral desses com polinômio de segundo grau dentro de raiz, uma boa saída é fazer substituição trigonométrica. Saca só:

sin 2 θ + cos 2 θ = 1

1 + c tg 2 θ = csc 2 θ

tg 2 θ + 1 = sec 2 θ

Ok, mas e daí? Bem, e se a gente tentasse deixar uma dessas relações trigonométricas mais parecidas com a função da integral. Dá uma olhada:

tg 2 θ + 1 = sec 2 θ

tg 2 θ = sec 2 θ - 1

4 tg 2 θ = 4 sec 2 θ - 4

2 tg θ 2 = 2 sec θ 2 - 4

Ainda não viu? Bem, e se a gente fizesse:

x = 2 sec θ

Aí teríamos:

2 tg θ 2 = x 2 - 4

Opa, x 2 - 4 aparece na integral! Então taí a substituição que vamos fazer! Se x = 2 sec θ , dentão:

d x d θ = 2 sec θ tg θ

d x = 2 sec θ tg θ d θ

E logo a integral fica:

d x x 2 x 2 - 4 = 2 sec θ tg θ d θ 4 sec 2 θ 4 sec 2 θ - 4

= tg θ d θ 2 sec θ 4 tg 2 θ = tg θ d θ 4 sec θ tg θ = 1 4 d θ sec θ = 1 4 cos θ d θ

E agora integrar cosseno é mais tranquilo né? Ficamos com:

1 4 cos θ d θ = 1 4 sin θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que fechamos a integral, só vai faltar restaurar para a variável original, que é x . Da nossa substituição trigonométrica:

x = 2 sec θ = 2 cos θ

Sendo assim:

cos θ = 2 x

Da relação trigonométrica:

sin 2 θ + cos 2 θ = 1

Ficamos com:

sin 2 θ + 4 x 2 = 1

sin 2 θ = 1 - 4 x 2

sin θ =   1 - 4 x 2

E pronto! O resultado final da integral vai ser:

d x x 2 x 2 - 4 = 1 4 sin θ = 1 4 1 - 4 x 2

Passo 3

Só não esquece da constante de integração viu? Se não professor fica bravo.

Resposta

d x x 2 x 2 - 4 = 1 4 1 - 4 x 2 + C

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