a) Calcule:

∫ d x x 2 x 2 - 4

Passo 1

Geralmente quando a gente pega uma integral desses com polinômio de segundo grau dentro de raiz, uma boa saída é fazer substituição trigonométrica. Saca só:

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

1 + c tg 2 ⁡ θ = csc 2 ⁡ θ

tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Ok, mas e daí? Bem, e se a gente tentasse deixar uma dessas relações trigonométricas mais parecidas com a função da integral. Dá uma olhada:

tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

4 tg 2 ⁡ θ = 4 sec 2 ⁡ θ - 4

2 tg ⁡ θ 2 = 2 sec ⁡ θ 2 - 4

Ainda não viu? Bem, e se a gente fizesse:

x = 2 sec ⁡ θ

Aí teríamos:

2 tg ⁡ θ 2 = x 2 - 4

Opa, x 2 - 4 aparece na integral! Então taí a substituição que vamos fazer! Se x = 2 sec ⁡ θ , dentão:

d x d θ = 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ

d x = 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

E logo a integral fica:

∫ d x x 2 x 2 - 4 = ∫ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ 4 sec 2 ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ - 4

= ∫ tg ⁡ θ d θ 2 sec ⁡ θ 4 tg 2 ⁡ θ = ∫ tg ⁡ θ d θ 4 sec ⁡ θ tg ⁡ θ = 1 4 ∫ d θ sec ⁡ θ = 1 4 ∫ cos ⁡ θ d θ

E agora integrar cosseno é mais tranquilo né? Ficamos com:

1 4 ∫ cos ⁡ θ d θ = 1 4 sin ⁡ θ

Passo 2

Agora que fechamos a integral, só vai faltar restaurar para a variável original, que é x . Da nossa substituição trigonométrica:

x = 2 sec ⁡ θ = 2 cos ⁡ θ

Sendo assim:

cos ⁡ θ = 2 x

Da relação trigonométrica:

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Ficamos com:

sin 2 ⁡ θ + 4 x 2 = 1

sin 2 ⁡ θ = 1 - 4 x 2

sin ⁡ θ =   1 - 4 x 2

E pronto! O resultado final da integral vai ser:

∫ d x x 2 x 2 - 4 = 1 4 sin ⁡ θ = 1 4 1 - 4 x 2

Passo 3

Só não esquece da constante de integração viu? Se não professor fica bravo.

Resposta

∫ d x x 2 x 2 - 4 = 1 4 1 - 4 x 2 + C

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida: ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2d x
Calcule a integral ∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x