Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2017.2, Questão Q01c

Calcule as integrais abaixo:

(c) x 2 1 - 4 x 2 d x

Passo 1

Substituição trigonométrica

Pra gente tirar essa integral de letra, vamos lembrar que:

s i n 2 θ + c o s 2 θ = 1

Ta, mas e dai? Como isso vai me ajudar? Bem, se a gente manipular um pouco isso fica um pouco mais claro, saca só:

c o s 2 θ = 1 - s i n 2 θ

c o s θ = 1 - s i n 2 θ

Mas olha a cara do denominador da integral do enunciado:

1 - 4 x 2

Opa, tem raiz também! Então pra que 1 - 4 x 2 =   c o s θ seja uma verdade vamos fazer a substituição trigonométrica:

4 x 2 = s i n 2 θ

x = s i n θ 2

E logo:

d x = c o s θ 2 d θ

Agora só aplicar:

x 2 1 - 4 x 2 d x =   s i n 2 θ 4 c o s θ c o s θ 2 d θ =   s i n 2 θ 8 d θ

s i n 2 θ 8 d θ = 1 8 1 - cos 2 θ 2 d θ =   1 16 d θ - 1 16 cos 2 θ d θ

s i n 2 θ 8 d θ =   θ 16 - 1 16 cos 2 θ d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fazer uma substituição simples

Show, encontramos uma integral mais fácil de resolver quando fizemos a substituição trigonométrica. Mas pra fechar com chave de ouro, falta uma substituição simples pra resolver essa integral:

1 16 cos 2 θ d θ

Chamando:

2 θ = u

d θ = 1 2 d u

Vamos ter:

1 16 cos 2 θ d θ = 1 32 cos u d u = 1 32 sin u

E voltando pra variável θ , ficamos com:

1 16 cos 2 θ d θ = 1 32 sin 2 θ = 1 16 sin θ cos θ

s i n 2 θ 8 d θ = 1 16 θ - sin θ cos θ

Passo 3

Voltando pra variável x

Show, quase acabando. Da uma respirada e vamos lá. Achamos que:

x 2 1 - 4 x 2 d x = 1 16 θ - sin θ cos θ  

Falta agora só voltar pra variável original, não é mesmo? Então vamos lá. Se:

x = s i n θ 2

Então:

s i n θ = 2 x

θ = arcsin 2 x

E lááá do iniciozinho da questão, tínhamos feito:

c o s θ =   1 - 4 x 2

E agora que ta tudo bem certo, vamos só juntar os resultados e chegar a:

x 2 1 - 4 x 2 d x = 1 16 arcsin 2 x - 2 x 1 - 4 x 2 + C  

Resposta

x 2 1 - 4 x 2 d x = 1 16 arcsin 2 x - 2 x 1 - 4 x 2 + C  

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