Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFPE, Cálculo 1, PF - 2012.1, Questão 3b

Calcule a integral:

1 4 x 2 - 9 3 2 d x

Passo 1

Vamos usar a substituição trigonométrica aqui. Esse caso é o da substituição da secante:

x 2 - a 2 x = a sec θ

Nesse caso, a 2 = 9 4 , o que gera a = 3 2 .

Logo,

x = 3 2 sec θ       ;       d x = 3 2 sec θ tg θ d θ

Usando isso na integral:

1 4 x 2 - 9 3 2 d x = 1 4 3 2 sec θ 2 - 9 3 2 3 2 sec θ tg θ d θ

= 3 2 sec θ tg θ 9 sec 2 θ - 9 3 2 d θ = 3 2 sec θ tg θ 27 sec 2 θ - 1 3 2 d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como sec 2 θ - 1 = tg 2 θ , teremos:

3 2 sec θ tg θ 27 sec 2 θ - 1 3 2 d θ = 3 2 sec θ tg θ 27 tg 2 θ 3 2 d θ

= 3 2 sec θ tg θ 27 tg 3 θ d θ = 1 18 sec θ tg 2 θ d θ

Abrimos sec θ = 1 cos θ e tg θ = sen θ cos θ .

1 18 sec θ tg 2 θ d θ = 1 18 1 cos θ     sen θ cos θ 2 d θ = 1 18 cos θ sen 2 θ d θ

Passo 3

Por substituição.

u = sen θ       ;       d u = cos θ d θ

1 18 cos θ sen 2 θ d θ = 1 18 d u u 2 = 1 18 u - 2 d u = 1 18 u - 1

= 1 18 u = 1 18 sen θ

Passo 4

Inicialmente, tínhamos:

x = 3 2 sec θ sec θ = 2 x 3

Como sec θ = 1 cos θ , e cos 2 θ + sen 2 θ = 1 , então

cos θ = 3 2 x       ;     sen θ = 1 - cos 2 θ

sen θ = 1 - 3 2 x 2 = 1 - 9 4 x 2

Assim, o resultado achado será

1 4 x 2 - 9 3 2 d x = 1 18 sen θ = 1 18 1 - 9 4 x 2 + C

Resposta

1 4 x 2 - 9 3 2 d x = 1 18 1 - 9 4 x 2 + C

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