Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2013.2, Questão 1d

Calcule a integral abaixo:

2 x 1 + x 4 d x

Passo 1

Cara de substituição trigonométrica, por conta do denominador com raiz. Escrevemos a relação:

tg 2 ( y ) + 1 = sec 2 y

Arrumando o denominador como a soma de 1 com um quadrado perfeito:

1 + x 4 = 1 + x 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituímos:

x 2 = tg ( y )

Derivando ambos os lados para obter a relação entre d x e d y :

2 x   d x = sec 2 ( y ) d y

d x = sec 2 y d y 2 x

Passo 3

Substituindo tudo:

2 x 1 + tg 2 ( y ) sec 2 ( y ) d y 2 x  

Arrumando:

sec 2 ( y ) 1 + tg 2 ( y ) d y  

Pela relação trigonométrica:

sec 2 y sec 2 y d y  

sec 2 y sec y d y  

sec y d y  

Passo 4

A integral que obtivemos é conhecida:

sec y d y   = ln sec y + tg ( y )

Agora precisamos trocar de volta para x . Sabemos que:

tg ( y ) = x 2

E portanto:

sec 2 y = 1 + tg 2 ( y )

sec 2 y = 1 + x 4

sec y = 1 + x 4

Logo, a integral é:

2 x 1 + x 4 d x = ln | 1 + x 4 + x 2 | + C

Resposta

ln | 1 + x 4 + x 2 | + C

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