Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFF - Cálculo IIA - P1 Cristiane Argento 2012.2 - 1d

Calcule a integral abaixo

8 x - x 2 d x

Passo 1

Bem, a princípio, esse problema pode não parecer simples de identificar o método de integração, porque já vou te avisando que ele não está assim tão na cara mesmo não. Mas nada que, com a prática, você não comece a identificar.

Bom, repara comigo que uma substituição simples não vai resolver o seu problema, porque dentro da raiz, você tem uma diferença com um termo x 2 . Quando derivar essa soma, vai ficar com um termo em x . E não tem nada de x fora da raiz (fail!).

Mas olha só: eu tenho um termo dentro da raiz e um termo x 2 . Isso me faz lembrar, bem lá no fundo, substituição trigonométrica. Ok, eu sei que você pensou: “Essa menina tá viajando aí, porque eu não tenho nada que pareça x 2 ± a 2 ou a 2 - x 2 ”.

Calma, como diz o ditado: nem tudo é o que parece ser.

Lembra daquela fórmula marota para calcular coisas do tipo x + a 2 ?

Lembra que é assim? x ± a 2 = x 2 ± 2 a x + a 2

Olha bem para essa função: 8 x - x 2

Repara que falta um numerozinho ali para ela ficar com essa carinha de x 2 ± 2 a x + a 2 e poder ser substituída por x ± a 2

Então, nesse caso, você pode completar o quadrado! E como você faz isso?

Pensa o seguinte (sem se preocupar com o sinal, por enquanto): você quer chegar em algo bonitinho do tipo x 2 ± 2 a x + a 2 .

Você já tem o x 2 e a parte do 2 a x .

Se você fizer 8 x = 2 a x , você descobre que ser a = 4

Se você quer chegar em algo do tipo x 2 ± 2 a x + a 2 , quem está faltando é o a 2 , concorda? Se o a = 4 , o a 2 seria 16 .

Você tem que fazer aquele 16 aparecer ali, mas, obviamente, você não pode alterar a função. Se aquele 16 não está no enunciado, você não pode simplesmente coloca-lo ali porque sem ele não dá para resolver. E aí?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de responder isso, vamos pensar no sinal e colocar na forma já bonitinha:

Temos - x 2 + 8 x , que podemos reescrever como - ( x 2 - 8 x ) , beleza?

Vamos colocar o a 2 dentro disso aí? Assim:

- ( x 2 - 8 x + 16 )

Só que, como eu falei, aquele 16 não estava ali. Então o que a gente faz para não alterar a função original. Se eu desmembrar aquele termo ali em cima:

- x 2 - 8 x + 16 =   - x 2 + 8 x - 16

No final, esse 16 que eu coloquei aí para completar o quadrado ficou - 16 , certo?

Se eu somar um termo e diminuir o mesmo termo, eu não estou alterando nada, certo? Porque no final, o termo menos ele mesmo será zero, não é mesmo?

Então... Olha que lindo!

Eu posso simplesmente somar um 16 :

16 - x 2 + 8 x - 16

No final eu chegarei à expressão original:

- x 2 + 8 x

Você pode não estar entendendo ainda e achando que estou rodando em círculos e colocando algo que vou tirar depois. Mas o meu objetivo não é tirar o 16 . É deixa-lo ali. Só que sem alterar a função original. O 16 vai me fazer ser capaz de resolver a questão. Observa:

Agora eu tenho:

16 - 16 +   8 x - x 2 d x

16 - ( 16 -   8 x + x 2 ) d x

16 - x - 4 2 d x

Percebeu que mágico? Você adicionou algo que vai te ajudar pra caramba sem alterar a função original (pode abrir aquele quadrado e conferir quantas vezes quiser que o que você tem ali vai ser sempre - x 2 + 8 x !).

Passo 3

Ufa! Fiz tudo isso, mas ainda temos que resolver essa integral.

Vou chamar aquele termo x - 4   de u , só para facilitar a visualização do problema aqui, ok?

Se eu fizer:

u = x - 4 d u = d x

Olha só como fica a integral:

16 - u 2 d u

E aí? Substituição trigonométrica gritando para ser usada?

Sim, temos aquele caso de típico de substituição trigonométrica com uma expressão do tipo a 2 - x 2 .

Só que nesse caso, o que eu tenho que chamar de a . s e n θ não é x e sim o u , saca?

Então a substituição que vou fazer é a seguinte:

u =   a . s e n   θ  

Passo 4

Agora vamos partir para a resolução propriamente dita. Já identificamos qual caso usar. O próximo passo é identificar quem é o a e, a partir disso, calcular d u e substituir na integral.

Temos 16 - u 2

Portanto, temos:

a = 4   u = 4   s e n   θ

d u = 4  cos θ d θ

16 -   u 2 =   16 - 4   sen θ 2 =   16 - 16   s e n 2   θ = 16 1 - s e n 2 θ = 16 cos 2 θ

= 4  cos θ

Substituindo na integral dada:

16 - u 2 d u

4   c o s θ × 4 cos θ d θ

= 16 cos 2 θ   d θ = 16 cos 2 θ   d θ  

Passo 5

Agora devemos resolver a integral na variável θ . Para isso, vamos utilizar a propriedade trigonométrica:

cos 2 θ = 1 2 + 1 2 c o s ( 2 θ )

16 cos 2 θ   d θ = 1 6 1 2 + 1 2 c o s ( 2 θ )   d θ  

= 16   1 2 θ + 1 2 . 1 2 s e n   2 θ = 16   1 2 θ + 1 4 s e n   2 θ = 16   1 2 θ + 1 4 s e n   2 θ

= 8   θ + 4   s e n   ( 2 θ )

Passo 6

Agora que resolvemos a integral em θ , vamos voltar para u . Montamos aquele triângulo maroto para des-substituir o θ para u , lembrando que nesse caso, o triângulo fica com essa cara aqui, ó:

A partir desse triângulo, tiramos todas as relações de que precisamos. Nesse caso, precisamos do valor de θ e de s e n ( 2 θ ) . Vale lembrar que:

s e n   2 θ = 2   s e n   θ cos θ

Portanto, precisamos calcular as relações s e n   θ e cos θ

sen θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = u 4

cos θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = 16 - u 2 4

θ =  arcse n u 4

Substituindo isso no resultado em θ que havíamos encontrado e lembrando que é uma integral indefinida, portanto, não devemos esquecer a constante C , beleza? Se liga aí para não dar bobeira!

16 cos 2 θ   d θ = 8   θ + 4   s e n   2 θ = 8   θ + 2   s e n   θ cos θ

= 8   a r c s e n   u 4 + 4   . 2   u 4 16 - u 2 4 + C 1

= 8   a r c s e n   u 4 + u 16 - u 2 2 + C 1

Chamei a constante aí em cima de C 1 porque essa ainda não é a resposta definitiva. Voltamos para u , mas a integral que tínhamos inicialmente era em x . Esse u aí veio daquela substituição esperta que fizemos para faciliar nossa vida.

Agora temos que voltar para x . Lembrando que fizemos u = x - 4 :

8 x - x 2 d x =   8   a r c s e n   x - 4 4 + x - 4 16 - ( x - 4 ) 2 2 + C

Resposta

8 x - x 2 d x =   8   a r c s e n   x - 4 4 + x - 4 16 - ( x - 4 ) 2 2 + C

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