Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2012.2, Questão 1d

Calcule a seguinte integral:

1 - x 2 x d x

Passo 1

O termo 1 - x 2 vai ser a nossa deixa pra usar uma substituição trigonométrica. Mais especificamente, a substituição

x = cos θ d x = - sen θ d θ

Assim:

1 - x 2 = 1 - cos 2 θ = sen 2 θ = sen θ

Daí a integral vai ficar:

sen θ cos θ - sen θ d θ = - sen 2 θ cos θ d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos escrever essa integral assim:

- sen 2 θ cos θ d θ = - 1 - cos 2 θ cos θ d θ

O que vai dar:

- 1 cos θ d θ + cos 2 θ cos θ d θ = - sec θ d θ + cos θ d θ

= - ln sec θ + tg θ + sen θ + C

Passo 3

Mas ainda temos que voltar pra variável x . Temos que

x 1 = x = cos θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Montando o nosso triângulo retângulo:

Daí podemos ver que

sen θ = 1 - x 2 1 = 1 - x 2

tg θ = 1 - x 2 x

E a secante é:

sec θ = 1 cos θ = 1 x

Passo 4

Show, então juntando tudo, a integral vai dar:

- ln 1 x + 1 - x 2 x + 1 - x 2 + C

= 1 - x 2 - ln 1 + 1 - x 2 x + C

Resposta

1 - x 2 - ln 1 + 1 - x 2 x + C

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