Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2011.2, Questão 2c

Calcule as seguintes integrais

sec 2 y 1 - tg 2 ( y ) d y

Passo 1

Não tem mistério! O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante C , marujo)!

Vamos começar tentando uma substituição. Sabemos que a derivada de   tg ( y ) é sec 2 ( y ) . Então, parece fazer sentido substituir tg ( y ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

sec 2 y 1 - tg 2 ( y ) d y

Vamos começar usando a seguinte substituição:

x = tg ( y ) d x = sec 2 ( y ) d y

Substituindo, teremos:

d x 1 - x 2

Percebemos que existe um termo do tipo a 2 - x 2 . Esse é um indício de que teremos que usar o método de integração por substituição trigonométrica.

Passo 3

Agora, vamos seguir o passo a passo da integração por substituição trigonométrica:

1. Identificar o caso da substituição trigonométrica e o a .

Devemos comparar o que a gente tem com esse cara aqui a 2 - x 2 .

Como temos 1 - x 2   o nosso a é 1!

2. Aplicar a substituição recomendada e calcular d x .

Temos que fazer x = 1 sen θ , logo

d x = cos θ d θ

3. Substituir na integral dada.

cos θ 1 - sen 2 θ d θ = cos θ cos 2 θ d θ = d θ  

Passo 4

4. Resolver a integral na variável θ .

d θ = θ + C

5. Usar o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial.

Fizemos que x = 1 sen θ s e n θ = x 1

Sabemos que seno = cateto oposto hipotenusa = x 1 .

Assim, cateto oposto = x , hipotenusa = 1 , cateto adjacente = 1 - x 2

Vamos colocar na figurinha

Logo, θ = arcsen x 1 = arcsen x ( arcsen x quer dizer o “arco” cujo seno é x ).

Substituindo:

θ + C = arcsen x + C

Acabou? Não! Lembra que a gente fez x = tg y ?

Então, precisamos voltar para y ! Ou seja

arcsen x + C = arcsen tg ( y ) + C

Finalmente,

sec 2 y 1 - tg 2 ( y ) d y = arcsen tg ( y ) + C

Onde C é uma constante.

Resposta

sec 2 y 1 - tg 2 ( y ) d y = arcsen tg ( y ) + C

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