Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

USP, Cálculo 1, P-REC - 2014, Questão 5 a

Calcule as seguintes integrais:

a   x ln x x 2 - 1 d x

Passo 1

Para integrar essa função vamos pensar em integração por partes, já que estamos trabalhando com funções muito distintas: logaritmo não tem nenhuma relação direta com polinômios. Pela regrinha do LIATE nós devemos escolher como nosso u da integração por partes o ln x , o resto do termo será d v . A partir disso, tudo consiste em aplicar a fórmula desse método:

u = ln x d u = d x x

d v = x d x x 2 - 1 v = x 2 - 1

Essa integral do d v a gente pode fazer por substituição simples do x 2 - 1 .

Agora aplicamos aquela fórmula da integral por partes:

x ln x x 2 - 1 d x = ln x x 2 - 1 - x 2 - 1 x d x

Agora sobrou uma outra integral, resolvemos ela para finalizar!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esse cara aí só tem polinômios, com o detalhe que um deles é de segundo grau e está dentro de uma raiz, num formato que se encaixa em x 2 - a 2 , um dos casos para a substituição trigonométrica. Esse caso aí é o da secante!

x 2 - a 2 = x 2 - 1 a = 1

x = a sec θ = sec θ d x = sec θ tg θ

Jogando na integral, ficamos assim:

x 2 - 1 x d x = sec 2 θ - 1 sec θ sec θ tg θ d θ

= tg 2 θ tg θ d θ

= tg θ tg θ d θ

Repara que a tangente sai da raiz como módulo! Porém, como sec θ é, por definição, maior ou igual a 1 e chamamos x = sec θ , vemos que x 2 - 1 será, necessariamente positivo. Como havíamos visto, tg θ = x 2 - 1 , então a tangente será sempre positiva e seu módulo será igual a ela mesma:

tg θ tg θ d θ = tg 2 θ d θ

= sec 2 θ - 1 d θ

= tg θ - θ

Ora, como x = sec θ , θ = arcsec x e tg θ = x 2 - 1 .

tg θ - θ = x 2 - 1 - arcsec x

Passo 3

Voltando ao passo 1 , substituímos o que acabamos de achar:

x ln x x 2 - 1 d x = ln x x 2 - 1 - x 2 - 1 x d x

= ln x x 2 - 1 - x 2 - 1 + arcsec x + C

Resposta

x ln x x 2 - 1 d x = ln x x 2 - 1 - x 2 - 1 + arcsec x + C

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