Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

USP, Cálculo 1, P-REC - 2015, Questão 2 a

Calcule as seguintes integrais:

a   x + 1 x 2 - 2 x + 5 d x

Passo 1

Divisão de polinômios, sendo o grau debaixo maior que o de cima. A melhor dica aí seria resolver pelo método das frações parciais, só que se você tentar abrir o termo do denominador vai ver que ele já é irredutível, o que faz com que o método das frações parciais não resolva nada.

Nessa situação, eu vou fazer ali no denominador o que a gente chama de completar quadrado. Seria tentar transformar essa função do segundo grau num quadrado perfeito somado a um termo:

x 2 - 2 x + 5 = x 2 - 2 x + 1 + 4

= x - 1 2 + 4

Ou seja,

x + 1 x 2 - 2 x + 5 d x = x + 1 x - 1 2 + 4 d x

Vamos fazer uma substituição:

u = x - 1 d u = d x

x + 1 x - 1 2 + 4 d x = u + 2 u 2 + 4 d u

u + 2 u 2 + 4 d u = u u 2 + 4 d u + 2 u 2 + 4 d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira integral podemos resolver por substituição:

t = u 2 + 4 d t = 2 u   d u   ;   d t 2 = u   d u

u u 2 + 4 d x = 1 2 d t t

= ln t 2 = 1 2 ln u 2 + 4

= 1 2 ln x 2 - 2 x + 5

Passo 3

Para a outra integral podemos fazer se aproximar da cara da integral de arco-tangente, dando uma mexida e fazendo outra substituição:

2 u 2 + 4 d u = 2 4 u 2 4 + 4 4 d u

= 2 4 u 2 4 + 4 4 d u

v = u 2 d v = d u 2

d u 2 u 2 2 + 1 = d v v 2 + 1

= arctg v = arctg u 2

= arctg x - 1 2

Passo 4

Assim, juntando os resultados:

    u + 2 u 2 + 4 d u =     u u 2 + 4 d u +     2 u 2 + 4 d u

= 1 2 ln x 2 - 2 x + 5 + arctg x - 1 2

Resposta

    x + 1 x 2 - 2 x + 5 d x = 1 2 ln x 2 - 2 x + 5 + arctg x - 1 2

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