Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UNICAMP, Cálculo 1, Exame - 2012.2 - Noturno, Questão 2 c

Calcule as seguintes integrais:

c   d x x 2 + 1 3 2

Passo 1

Nessa integral aí aparece um termo que lembra o formato de uma substituição trigonométrica:

x 2 + 1

Nesse caso, quando o formato do termo é x 2 + a 2 a substituição seria de x = a tg θ :

x = a tg θ = tg θ d x = sec 2 θ d θ

Jogando isso na integral ficamos assim:

d x x 2 + 1 3 2 = sec 2 θ d θ tg θ 2 + 1 3 2

= sec 2 θ d θ sec 2 θ 3 2 = sec 2 θ d θ sec 3 θ

= d θ sec θ = cos θ d θ = sen θ + C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que desfazer a substituição. Para isso, a boa é desenhar um triângulo retângulo onde temos um ângulo θ cuja tangente vale x , ou melhor, x 1 . Dado esse triângulo, determinamos quanto valeria o seno do mesmo ângulo:

Por Pitágoras, descobrimos a hipotenusa desse triângulo com a tangente de θ sendo x 1 . Nele, o seno desse ângulo será dado assim:

sen θ = x x 2 + 1

Enfim, eis a nossa resposta:

d x x 2 + 1 3 2 = x x 2 + 1 + C

Resposta

d x x 2 + 1 3 2 = x x 2 + 1 + C

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