Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2015.2, Questão 1b

Determine a integral indefinida abaixo.

d x x 3 x 2 - 4

Passo 1

Bem, não dá para resolver essa integral de cara por nenhuma primitiva fundamental e nem mesmo há uma substituição clara. Mas, como temos um termo na forma x 2 - a 2 , que é justamente x 2 - 4 , podemos usar a substituição trigonométrica.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fazendo a substituição:

x = 2 sec φ d x = 2 sec φ tg φ d φ

Temos, simplificando: 2 sec φ tg φ d φ 8 sec 3 φ 4 sec 2 φ - 1 = 1 4 sec φ tg φ d φ 2 sec 3 φ sec 2 φ - 1 = 1 8 tg φ d φ sec 2 φ sec 2 φ - 1

Como:

tg 2 φ + 1 = sec 2 φ

Então: sec 2 φ - 1 = tg 2 φ

Substituindo, conseguimos simplificar ainda mais: 1 8 tg φ d φ sec 2 φ sec 2 φ - 1 = 1 8 tg φ d φ sec 2 φ tg φ = 1 8 d φ sec 2 φ = 1 8 cos 2 φ d φ

Passo 3

Vamos resolver essa nova integral agora. Bem, do cosseno ao quadrado, podemos tirar que: cos 2 φ = 1 + cos 2 φ 2

Assim, teremos: 1 16 1 + cos 2 φ d φ = 1 16 φ + sen 2 φ 2 + C

Uma vez que:

cos 2 φ d φ = 2 2 cos 2 φ d φ = 1 2 2 cos 2 φ d φ

Com a substituição simples u = 2 φ e d u = 2 d φ :

1 2 2 cos 2 φ d φ = 1 2 cos u d u = 1 2 sen u = sen 2 φ 2 + c 1

Onde: sen 2 φ = sen φ + φ = 2 sen φ cos φ

Ficando:

1 16 1 + cos 2 φ d φ = 1 16 φ + sen φ cos φ + C

Passo 4

Repare que para chegarmos até aqui, usamos pelo menos duas identidades trigonométricas, uma para a secante e outra para o cosseno ao quadrado. Assim, é bom ter elas sempre em mente na hora da prova!

Apesar do discurso, a questão ainda não acabou. Precisamos retornar a variável do problema, o x . Para tal, temos que encontrar φ e sen φ e cos φ .

Da derivação de φ , temos: x = 2 sec φ x 2 = sec φ cos φ = 2 x

Logo:

φ = arccos 2 x = arcsec x 2

Encontramos φ , vamos ao seno agora. Da última parte, temos: cos φ = 2 x

Já o sen φ , da identidade fundamental trigonométrica: sen 2 φ + cos 2 φ = 1 sen 2 φ + 2 x 2 = 1 sen φ = 1 - 4 x 2

Passo 5

Agora já temos o que precisamos para retornar a x : 1 16 1 + cos 2 φ d φ = 1 16 arcsec x 2 + 2 x 1 - 4 x 2 + C

Se quisermos juntar tudo, temos que:

2 x 1 - 4 x 2 = 2 x x 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 4 x 2

Ficando: 1 16 arcsec x 2 + 2 x 2 - 4 x 2 + C

Pronto!

Resposta

d x x 3 x 2 - 4 = 1 16 arcsec x 2 + 2 x 2 - 4 x 2 + C

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