Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 2

Use substituição trigonométrica para calcular a integral dada:

2 x 3 1 - x 2 d x

Passo 1

Vamos resolver essa integral por substituição trigonométrica. Para começar, precisamos identificar em qual caso estamos. Temos

1 - x 2

Perceba que isso tem o formato

a 2 - x 2

Nesse caso podemos substituir x por

x = a sen θ

Ou

x = a cos θ

Vamos escolher x = a sen θ ,   mas tanto faz ok? Então ficamos com

x = sen θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O segundo passo vai ser encontrar d x derivando o que determinamos para x

x = sen θ

d x = cos θ

Passo 3

Agora precisamos substituir x e d x na nossa integral

2 x 3 1 - x 2 d x = 2 x 3 1 - x 2 d x

2 x 3 1 - x 2 d x = 2 sen 3 θ 1 - sen 2 θ cos θ   d θ

Sabemos que cos 2 θ = 1 - sen 2 θ então

2 x 3 1 - x 2 d x = 2 sen 3 θ cos 2 θ cos θ   d θ = 2 sen 3 θ cos θ cos θ   d θ

Cortando cos θ em cima e em baixo, nos resta:

2 x 3 1 - x 2 d x = 2 sen 3 θ   d θ

Passo 4

Falta resolver de fato a integral então olha só a sagacidade:

2 sen 3 θ   d θ = 2 sen 2 θ sen θ   d θ

Como isso ajuda a gente? Bem, sabemos que sen 2 θ = 1 - cos 2 θ . Se fizermos então a substituição simples:

u = cos θ

d u = - sen θ   d θ

Podemos reescrever a integral para

2 sen 3 θ   d θ = 2 sen 2 θ sen θ   d θ

2 sen 3 θ   d θ = 2 1 - cos 2 θ sen θ   d θ

2 sen 3 θ   d θ = - 2 1 - cos 2 θ - sen θ   d θ

E logo:

2 sen 3 θ   d θ = - 2 1 - u 2 d u

O que resolvemos e ficamos com:

2 sen 3 θ   d θ = - 2 u - u 3 3

Vamos adicionar as constantes de integração só no final ok? Desfazendo a substituição temos

2 sen 3 θ   d θ = - 2 cos θ - cos 3 θ 3

Então chegamos em

2 x 3 1 - x 2 d x = - 2 cos θ - cos 3 θ 3

Passo 5

Por fim, não podemos dar a resposta em função de θ   então precisamos voltar para o formato da função em x . Para isso vamos lembrar do triângulo retângulo. Temos que

x = sen θ

Então sen θ = x 1

Sabemos que

sen θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

Vamos usar Pitágoras para encontrar o outro cateto

1 2 = x 2 + c a t 2

c a t = 1 - x 2

Então

cos θ = 1 - x 2 1

cos θ = 1 - x 2

Substituindo no resultado da integral

2 x 3 1 - x 2 d x = - 2 1 - x 2 - 1 - x 2 3 3

2 x 3 1 - x 2 d x = 2 3 1 - x 2 3 2 - 2 1 - x 2 + C

Resposta

2 x 3 1 - x 2 d x = 2 3 1 - x 2 3 2 - 2 1 - x 2 + C

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