Ache expressões para as taxas requeridas

Calcule d y / d x , sabendo que 4 cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) = 1

Passo 1

Falai moçadinha, bora resolver essa junto comigo?

Então simboraaa...

Vamos calcular a derivada implícita da expressão 4 c o s ( x ) s i n ( y )   =   1 em relação a x .

Para fazer isso, aplicaremos a regra da cadeia e derivaremos ambos os lados da equação em relação a x .

A expressão dada é: 4 c o s ( x ) s i n ( y )   =   1

Vamos derivar ambos os lados em relação a x:

A derivada de   4 c o s ( x ) s i n ( y )   em relação a x usando a regra do produto é:

d d x   4 c o s x s i n y =   4   *   - s i n x s i n y +   4 c o s x c o s y * d y d x

A derivada de 1 em relação a x é 0.

Passo 2

Agora, aplicando a derivada em ambos os lados da equação original:

4   *   - s i n x s i n y +   4 c o s x c o s y * d y d x   =   0

Agora, isole o termo d y / d x para obter a derivada implícita em relação a x:

4 c o s x c o s y * d y d x   =   4 s i n ( x ) s i n ( y )

Divida ambos os lados por 4 c o s ( x ) c o s ( y ) :

d y d x   = 4 s i n x s i n y 4 c o s x c o s y  

Simplificando:

d y d x   =   t a n ( x ) t a n ( y )

Portanto, a derivada implícita de d y / d x para a expressão 4 c o s ( x ) s i n ( y )   =   1   é   d y / d x   =   t a n ( x ) t a n ( y ) .

Resposta

Portanto, a derivada implícita é   d y / d x   =   t a n ( x ) t a n ( y ) .

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