4 - A área A de um triângulo, com lados de comprimento a e b formando um ângulo θ á dada por.

A = 1 2 a b s e n θ

b) Como d A d t se relaciona com d θ d t e d a d t se apenas b é constante?

Passo 1

Como vai meu consagrado? 😁 Bora aprender como resolver essa questão? 😉

Nesse problema foi dada a equação da área de um triangulo com lados a e b e que formam um ângulo θ entre eles.

A = 1 2 a b s e n θ

Com isso queremos saber qual é a relação entre d A d t com d θ d t e d a d t se b é constante.

E aí! O que vamos fazer? 🤔

Passo 2

Como se trata de uma equação, podemos obter a variação de ambos os lados com relação a t , ou seja, derivar ambos os lados com relação a t

d A d t = d 1 2 a b s e n θ d t

Como b é constante, podemos tirá-la da derivada

d A d t = 1 2 b d a s e n θ d t

Como se trata do produto de duas funções, podemos aplicar a regra do produto...

d A d t = 1 2 b d a d t · s e n θ + a · d s e n θ d t

Mas como θ é uma função de t , temos que aplicar a regra da cadeia na derivada de s e n θ .

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é obtida a partir do produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Como a função interna é θ e a função externa é s e n θ , então

d A d t = 1 2 b d a d t · s e n θ + a · d s e n θ d θ d θ d t

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de s e n θ é igual a

d A d t = 1 2 b d a d t · s e n θ + a · cos ⁡ θ d θ d t

d A d t = 1 2 b s e n θ d a d t + 1 2 a b cos ⁡ θ d θ d t

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

d A d t = 1 2 b s e n θ d a d t + 1 2 a b cos ⁡ θ d θ d t

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão que percorre uma estrada. O caminhão parte em t = 0 e retorna 15 h mais tarde, em t = 15.a. Use a técnica descrita no Exemplo
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1 3 x 2 c) Ache o rendimento real da venda da trigésima primeira carteira.
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função n = f t = a 1 + b e - 0,7 t Em que t é med
(a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de i 2a3i i2a2,5i i i 2a2 , 1 (b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2 (c) Mostre qu
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2 Encontre a corrente quando (a) t = 0,5 s