Um balão esférico está sendo enchido a uma taxa de 4   m 3 / s . Encontre a taxa de crescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a 8   m . Volume da esfera é igual a 4 π 3 r 3 , onde r é o raio.

Passo 1

Então, nessa questão o enunciado já disse qual fórmula ele quer que a gente use.

O volume da esfera segue essa relação aqui:

V = 4 3 π r 3

E se a taxa de variação desse volume é 4   m 3 / s , isso quer dizer que a derivada do volume em relação ao tempo é 4   m 3 / s . Então:

d d t V = 4   m 3 / s

d d t 4 3 π r 3 = 4

Beleza, é daí que a gente vai partir.

Passo 2

Agora vamos resolver essa derivada. O primeiro passo é colocar as constantes pra fora da derivada:

d d t 4 3 π r 3 = 4

4 3 π   d d t r 3 = 4

E agora é só resolver essa derivada de r 3 em relação a t . Pra isso a gente tem que usar a regra da cadeia:

d d t f r = d f d r d r d t

Então:

d d r r 3 = d r 3 d r d r d t

d d r r 3 = 3 r 2 d r d t

Beleza, vamos colocar isso de volta na equação:

4 3 π   d d t r 3 = 4

4 3 π   3 r 2 d r d t = 4

Então, isolando d r / d t , a taxa de crescimento do raio é:

d r d t = 4 3 4 π 3 r 2 = 1 π r 2

Passo 3

Então, quando o diâmetro é 8   m , o raio da esfera é:

r = 8 2 = 4   m

E então a taxa de variação do raio é:

d r d t = 1 π 4 2 = 1 16 π

Resposta

A taxa de crescimento do balão é 1 16 π quando o diâmetro é igual a 8   m .

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