Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

Um balão esférico está sendo enchido a uma taxa de 5   m 3 / s .

a) Encontre a taxa de crescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a 4 m

b) Sabendo que num determinado instante o balão tem volume de 100   m 3 , determine o volume após 5 segundos

Passo 1

Olha, não sei vocês, mas eu nunca vi um balão esférico, deve ser um balão mágico.

Brincadeiras a parte, como estamos falando de uma esfera, vale a pena já deixar enunciado a equação do volume:

V = 4 π R 3 3

Como queremos a taxa de variação instantânea em determinado instante t 0 , podemos derivar dos dois lados em relação ao tempo:

d V d t = d 4 π R 3 3 d t

V ' t 0 = 4 π 3 d R 3 d t

Fazendo uma regra da cadeia ai, temos:

V ' t 0 = 4 π 3 3   R t 0 2   R ' t 0

V ' t 0 = 4 π   R t 0 2   R ' t 0

Nesse instante, mesmo não sabendo qual ele é, sabemos do enunciado qual o valor da taxa de variação do volume e qual o valor do raio. Pô, então é só substituir do enunciado na fórmula acima:

V ' t 0 = 5   m 3 / s

D = 4   m → R = 2   m

E logo:

5 = 4 π   2 2   R ' t 0

5 = 4 π   4   R ' t 0

5 = 16 π   R ' t 0

R ' t 0 = 5 16 π   m / s

Passo 2

Agora pra gente fechar com chave de ouro essa questão, vamos pensar no seguinte. Se a taxa de crescimento do volume é de 5   m 3 / s , passados 5 seg, o volume aumentou em 25   m 3 . Opa, se ele era antes 100   m 3 , então a resposta da letra b ta na mão, o volume será:

V = 125   m 3

Resposta

R ' t 0 = 5 16 π   m / s

V = 125   m 3

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