Em cada item a seguir, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada. Em seguida, determine seus pontos de máximo e mínimo locais (se existirem).

(d) g t = t 4 e - t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função cresce e decresce, além de seus pontos de máximo e mínimo locais.

Pra isso, vamos precisar fazer o famoso teste de crescimento e decrescimento, que basicamente consiste em verificar o sinal da derivada da função. Isso porque se f ' x > 0 , em um intervalo a ,   b , então a função f é crescente nesse intervalo. E se f ' x < 0 , em um intervalo ( a ,   b ) , então a função f é decrescente nesse intervalo.

Além disso, nos locais onde f ' x = 0 temos nossos pontos críticos, que vão ser candidatos a máximo ou mínimo da função. Supondo que esse ponto crítico seja c , o teste da primeira derivada nos diz que:

S e   o   s i n a l   d e   f '   m u d a r   d e   p o s i t i v o   p a r a   n e g a t i v o   e m   c ,   e n t ã o   f   t e m   u m   m á x i m o   l o c a l   e m   c

S e   o   s i n a l   d e   f '   m u d a r   d e   n e g a t i v o   p a r a   p o s i t i v o   e m   c ,   e n t ã o   f   t e m   u m   m í n i m o   l o c a l   e m   c

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

g t = t 4 e - t

Derivando ela em relação a t , vamos obter:

g ' t = 4 t 3 e - t - t 4 e - t

g ' t = e - t ( 4 t 3 - t 4 )

Agora vamos fazer o estudo de sinal de g ' ( t ) para verificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

Passo 3

Se olharmos os termos do produto, vamos ver que dependendo do valor de t , a derivada será positiva (ou seja, maior que zero) ou negativa (menor que zero). Então, para montar o quadro de sinais, a gente começa achando os pontos em que cada termo será igual a zero, em outras palavras, vamos achar as raízes da equação.

e - t ( 4 t 3 - t 4 ) = 0

Como a função exponencial nunca zera, temos:

4 t 3 - t 4 = 0 → t 3 4 - t = 0

Logo,

t = 0

Ou

4 - t = 0 → t = 4

Agora vamos finalmente para o quadro de sinais. Vamos colocar em cima da tabela, em ordem crescente, todas os pontos críticos da função (onde a derivada é zero e onde ela não existe), e na primeira coluna colocamos os termos da derivada, a própria g ' ( t ) original e a nossa função g ( t ) .

Então vamos preencher a tabela analisando os intervalos onde cada termo é negativo ou positivo, na primeira e na segunda linha. Na linha da derivada, a gente preenche fazendo a multiplicação dos sinais de cada termo.

As setinhas para cima indicam onde a derivada é positiva e consequentemente, os intervalos de crescimento da função. Assim como as setinhas para baixo, indicam onde a função decresce. Representanto esses intervalos, vamos ter:

C r e s c i m e n t o → ( 0 ,   4 )

D e c r e s c i m e n t o → - ∞ ,   0 ∪ ( 4 ,   + ∞ )

Passo 4

Agora repare que a nossa função descrece até t = 0 e depois volta a crescer (muda de sinal), indicando a existência de um ponto de mínimo local. Em seguida, ela cresce até t = 4 e depois volta a decrescer, indicando a existência de um ponto de máximo

Substituindo esses valores na função, temos:

f 0 = ( 0 ) 4 e - 0 = 0

f 4 = ( 4 ) 4 e - 4 = 256 e 4

Assim, temos os pontos:

M á x i m o → 4 ,   256 e 4

M í n i m o → ( 0 ,   0 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C r e s c i m e n t o → ( 0 ,   4 )

D e c r e s c i m e n t o → - ∞ ,   0 ∪ ( 4 ,   + ∞ )

P o n t o   d e   M á x i m o → 4 ,   256 e 4

P o n t o   d e   M í n i m o → ( 0 ,   0 )

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