6 - Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 c m / s . A que taxa a área do quadrado está aumentando quando a área do quadrado for 16 c m 2 ?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos um quadrado que cada lado aumenta a uma taxa de 6 c m / s .

Apenas com isso, queremos saber quanto a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 16 c m 2 .

E aí, tem alguma ideia? 🤔🤔

Vamos chamar o lado do quadrado de x , assim, a área será dada por

A = x 2

Sacou? 😁

Passo 2

Mas o que queremos é a taxa de variação da área, temos que escrever a variação da área em relação ao tempo, ou seja, a derivada de A em relação a t .

Derivando os dois lados da equação, temos

d A d t = d x 2 d t

Mas como x é a medidas do lado do quadrado e é uma função que varia em t , temos que aplicar a regra da cadeia, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora

d A d t = d x 2 d x · d x d t

d A d t = 2 x · d x d t

Essa equação nos diz que a variação da área A é igual a duas vezes o produto entre a varação do lado x com lado instantâneo x .

Mas qual será o lado instantâneo x ?

Se a área instantânea é 16 c m 2 , então o lado será

A = x 2 → x = A

x = 16

x = 4

Substituindo na equação da variação da área, temos

d A d t = 2 x · d x d t

d A d t = 2 4 · 6

d A d t = 48 c m 2 / s

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

d A d t = 48 c m 2 / s

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