Uma caixa está sendo puxada por uma corda que passa por uma roldana presa a 1   m acima do solo. Determine a taxa de variação do ângulo θ , indicado na figura abaixo, no instante em que a caixa se encontra a 1   m do ponto P , situado abaixo da roldada, sabendo que a caixa se desloca a 2   m / m i n .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do ângulo, essa taxa pode ser definida por d θ d t . Mas ele quer o valor da taxa no instante em que a caixa se encontra a uma distância x = 1   m do ponto P , sabendo que a caixa se desloca com uma taxa d x d t = - 2   m / m i n (o sinal é negativo porque a caixa está sendo puxada, diminuindo a distâcia de x ).

Então, o que nós vamos fazer é encontrar uma relação entre o ângulo θ e a distância x . A partir dessa relação, derivando implicitamente, vamos obter o valor da taxa d θ d t .

Vamos lá!

Passo 2

Olhando a nossa figura, a gente percebe que o ângulo entre a caixa e o ponto P , pode ser relacionado através dos catetos, x ( t ) e y = 1   m , de modo que teremos:

tan ⁡ ( θ t ) = 1 x ( t )

Daqui, tiramos que se x = 1   m , tan ⁡ θ = 1 , o que implica θ = π 4 .

Derivando implicitamente a relação que encontramos, obtemos:

1 cos 2 ⁡ θ d θ d t = - 1 x 2 d x d t

Sabendo que d x d t = - 2   m / m i n , quando x = 1   m e θ = π 4 , temos:

1 cos 2 ⁡ π 4 d θ d t = - 1 1 2 ∙ ( - 2 )

1 2 2 2 d θ d t = 2

Isolando d θ d t , temos a variação do ângulo:

2 d θ d t = 2

→   d θ d t = 1   m / m i n

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1   m / m i n

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão que percorre uma estrada. O caminhão parte em t = 0 e retorna 15 h mais tarde, em t = 15.a. Use a técnica descrita no Exemplo
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1 3 x 2 c) Ache o rendimento real da venda da trigésima primeira carteira.
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função n = f t = a 1 + b e - 0,7 t Em que t é med
(a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de i 2a3i i2a2,5i i i 2a2 , 1 (b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2 (c) Mostre qu
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2 Encontre a corrente quando (a) t = 0,5 s