Uma calha horizontal possui 100   c m de comprimento e tem como seção transversal um triângulo isósceles de 8   c m de base e 10   c m de altura conforme mostra a figura abaixo.

Devido à chuva, a água em seu interior está se elevando. Quão rápido o volume de água em seu interior estará aumentando no instante em que o nível da água for de 5   c m e estiver aumentando a uma razão de 1 2 c m / m i n .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa com que o volume de água no interior do tanque está aumentando.

Vamos chamar de h ( t ) o nível de água e b ( t ) a base do triângulo contendo água. Então, observando a nossa figura, por semelhança de triângulos, temos:

h 10 = b 8

Assim, quando o nível de água for h = 5 , teremos b = 4   c m . O enunciado nos disse que o nível da água está aumentando a uma taxa h ' = 1 2 , mas nós queremos obter a taxa de aumento do volume, que vai ser dado por 1 2 da base vezes a altura do triângulo vezes 100 , ou seja:

V = 50 h t b ( t )

Então, derivando a relação entre base e altura, encontramos b ' ( t ) . E derivando a relação do volume, com todos os dados considerados, encontramos a taxa de aumento da água V ' ( t ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando implicitamente a relação entre a base e altura do nível de água, que é h 10 = b 8 :

h ' ( t ) 10 = b ' ( t ) 8

Como h ' t = 1 2   c m / m i n , temos:

1 / 2 10 = b ' ( t ) 8

b ' t = 2 5   c m / m i n

Passo 3

Agora vamos derivar a equação do volume, V ( t ) = 50 h t b ( t ) , para encontra a taxa de variação. Usando a regra do produto, temos:

V ' t = 50 ( h ' b + h b ' )

Substituindo h ' t = 1 2   c m / m i n , b ' t = 2 5   c m / m i n , h = 5   c m e b = 4   c m , vamos obter:

V ' t = 50 1 2 ∙ ( 4 ) + ( 5 ) ∙ 2 5

V ' t = 200   c m 3 / m i n

Que é a variação do volume de água.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V ' t = 200   c m 3 / m i n

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