Considere a função f x , y , z = 2 x y + y 3 z + x z no ponto P 1 , - 1 , - 3 , encontre:

  1. A derivada direcional na direção de Q ( 2,4 , 5 )
  2. A taxa de variação máxima nesse ponto e a direção em que ela ocorre.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos derivadas direcionais, usaremos a fórmula:

d f d u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Além disso, o enunciado pede que a gente faça os cálculos em função do ponto ( 1 , - 1 , - 3 ) . Ok?

Mas aqui nessa letra ele quer saber a taxa de variação máxima e a direção em que ela ocorre. Afinal o que seria isso? Bom, para acharmos o que ele pede, nós vamos ter que ir em busca do nosso querido u e do u da nossa fórmula acima. Beleza?

Passo 2

Vamos começar a calcular. Para começar, precisamos ter em mãos o gradiente da nossa função e aplicar o ponto nele:

f x , y , z = 2 x y + y 3 z + x z

d f d x = 2 y + z

d f d y = 2 x + 3 y ² z

d f d z = y 3 + x

Aplicando o ponto:

d f d x 1 , - 1 , - 3 = 2 - 1 - 3 = - 5

d f d y 1 , - 1 , - 3 = 2 1 + 3 - 1 2 - 3 = 2 - 9 = - 7

d f d z 1 , - 1 , - 3 = - 1 3 + 1 = 0

Ok, gradiente calculado. Agora, podemos jogar tudo na nossa fórmula do Passo 1:

d f d u 1 , - 1 , - 3 = ( - 5 , - 7,0 ) × u u

Passo 3

Show, agora vamos para o que a questão pede. Ela quer que encontremos a taxa de variação máxima e a direção que ela ocorre.

Bom, para isso, temos que lembrar que a direção aonde a função cresce mais rápido é na direção do próprio vetor gradiente. Então:

u = ∇ f P 0 = ( - 5 , - 7,0 )

E a taxa de variação máxima e justamente o módulo do vetor gradiente no ponto:

u = ∇ f P 0 = - 5 2 + - 7 2 + 0 ²

u = ∇ f P 0 = 74

Resposta

u = ∇ f P 0 = ( - 5 , - 7,0 )

u = ∇ f P 0 = 74

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