Determine os extremos relativos, os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:

  1. f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 19
  2. f x = 3 x 4 - 4 x 3 - 24 x 2 + 48 x

Passo 1

Falaiii meus xuxuzinhooos, boraaa??

Primeiro de tudo, extremos relativos são os pontos de máximo e mínimo.

Para determinar os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 19 ,   você deve seguir os seguintes passos:

Vamos encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. A derivada primeira da função é f ' x = 3 x 2 - 6 x - 9

Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo f ' x = 0

[ 3 x 2 -   6 x   -   9   =   0 ]

Primeiro, podemos dividir a equação por 3 para simplificar:

[ x 2 -   2 x   -   3   =   0 ]

Agora, resolvemos esta equação quadrática. Podemos usar a fatoração ou a fórmula quadrática. Vamos usar a fatoração:

[ x   -   3 x   +   1 =   0 ]

Isso nos dá duas soluções:

( x   -   3   =   0 )   = >   ( x   =   3 )

( x   +   1   =   0 )   = >   ( x   =   - 1 )

Portanto, temos dois pontos críticos: ( x   =   3 )   e   ( x   =   - 1 ) .

Passo 2

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para fazer isso, podemos usar a derivada primeira f ' ( x ) e os pontos críticos que encontramos.

Vamos criar uma tabela de sinais para f ' ( x ) nos intervalos determinados pelos pontos críticos:

Agora, vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e determinar o sinal de f ' x nesse intervalo. Vamos usar x = - 2   para o intervalo - ∞ , - 1 , x = 0 para o intervalo - 1 ,   3 ,   e   ( x   =   4 ) para o intervalo   3 , + ∞

Para x = - 2

f ' - 2 =   3 - 2 2 -   6 - 2 -   9   =   12   +   12   -   9   =   15   >   0

Para x = 0

f ' 0 =   3 0 2 -   6 0 -   9   =   - 9   <   0

Para x = 4

f ' 4 =   3 4 2 -   6 4 -   9   =   48   -   24   -   9   =   15   >   0

Agora, podemos preencher a tabela de sinais:

Passo 3

Agora, usando a tabela de sinais de f ' ( x ) podemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função f ( x )

- A função f ( x ) está crescendo nos intervalos onde f ' x > 0 ou seja, nos intervalos - ∞ , - 1   e   ( 3 , + ∞ ) .

- A função f x está decrescendo no intervalo onde f ' x < 0 , ou seja, no intervalo ( - 1,3 ) .

Agora, vamos determinar os extremos relativos. Para isso, precisamos analisar o comportamento de f ( x ) nos pontos críticos.

- No ponto crítico x = - 1 , a função muda de crescente para decrescente. Portanto, há um ponto de máximo local nesse ponto.

- No ponto crítico x = 3 , a função muda de decrescente para crescente. Portanto, há um ponto de mínimo local nesse ponto.

Resumo:

- A função f x é crescente nos intervalos - ∞ , - 1   e   ( 3 , + ∞ ) .

- A função f x é decrescente no intervalo ( - 1   , 3 )

- A função tem um ponto de mínimo local em x = 3

- A função tem um ponto de máximo local em x = - 1

Resposta

Vide a explicação.

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