Dois carros, um dirigindo-se para o leste à razão de 20   m / s e o outro para o sul à razão de 15   m / s , estão viajando em direção à interseção das duas rodovias. À que razão os carros aproximam-se um do outro, no instante em que o primeiro (direção leste) estiver a 400   m e o segundo (direção sul) a 300   m da interseção?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação da distância entre dois carros, cujas posições vamos chamar de x e y , com origem na interseção entre eles.

Um dos carros tá dirigindo na direção do eixo x e sentido para origem, com uma velocidade d x d t = - 20   m / s . E o outro carro tá indo para o sul, na direção do eixo y , também com sentido para origem e velocidade d y d t = - 15   m / s . Se a gente chamar de d a distância entre eles, a gente consegue visualizar no esquema abaixo que podemos relacionar as variáveis através do teorema de Pitágoras.

Assim, teremos:

x 2 t + y 2 t = d 2 ( t )

Derivando essa equação e usando os dados do enunciado, vamos obter d ' , que é a derivada de d em relação a t e representa a taxa de variação da distância entre os carros.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pela relação que encontramos na nossa figura:

x 2 t + y 2 t = d 2 t

Derivando implicitamente, temos:

2 x x ' + 2 y y ' = 2 d d '

Dividindo todo mundo por 2 :

x x ' + y y ' = d d '

Mas o enunciado nos deu x ' = - 20   m / s , y ' = - 15   m / s . Além disso, ele fala que o primeiro carro (direção leste) está em x = 400   m da origem e o segundo carro (direção sul) está a y = 300   m da interseção. Nesse instante, pela relação do triângulo, temos d = 500   m . Então, substituindo na derivada, temos:

400 ∙ - 20 + 300 ∙ - 15 = 500 ∙ d '

Isolando d ' , vamos obter a razão com que os carros aproximam-se um do outro:

d ' = - 25   m / s

Então, eles estão se aproximando a uma taxa de 25   m / s .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d ' = - 25   m / s

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão que percorre uma estrada. O caminhão parte em t = 0 e retorna 15 h mais tarde, em t = 15.a. Use a técnica descrita no Exemplo
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1 3 x 2 c) Ache o rendimento real da venda da trigésima primeira carteira.
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função n = f t = a 1 + b e - 0,7 t Em que t é med
(a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de i 2a3i i2a2,5i i i 2a2 , 1 (b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2 (c) Mostre qu
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2 Encontre a corrente quando (a) t = 0,5 s