Dois lados paralelos de um retângulo aumentam à razão de 2   c m / s , mas os outros dois lados diminuem de tal modo que a figura permaneça um retângulo de área constante igual a 50   c m 2 . Qual a velocidade com que o perímetro varia quando o lado que aumenta mede 5   c m ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa com que o perímetro do retângulo varia, de modo que sua área permaneça constante.

Chamando de x ( t ) e y ( t ) os lados do retângulo, nossa área que é de 50   c m 2 , vai ser dada pelo produto entre os lados:

x t y t = 50

Nós sabemos que um dos lados aumenta à razão x ' = 2   c m / s e que acaba medindo x = 5   c m . Então, a partir da relação de área, encontramos y . E derivando a relação de área, encontramos y ' .Vamos precisar do valor dessas variáveis para determinar a variação do perímetro P t = 2 x t + y t .

Vamos lá!

Passo 2

Com x = 5   c m , partindo da relação x t y t = 50 , temos:

5 ∙ y = 50

y = 10

Derivando essa relação de área, usando a regra do produto, vamos ter:

x ' y + x y ' = 0

Como x ' = 2   c m / s , x = 5   c m e y = 10   c m , temos:

2 ∙ 10 + 5 y ' = 0

5 y ' = - 20 → y ' = - 4   c m / s

Passo 3

O perímetro do retângulo é dado por P t = 2 x t + y ( t ) . Derivando implicitamente essa relação, temos:

P ' t = 2 x ' t + y ' t

Com x ' = 2   c m / s e y ' = - 4   c m / s , vamos ter:

P ' t = 2 ( 2 - 4 )

P ' t = - 4   m / s

Que é a velocidade com que o perímetro varia.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P ' t = - 4   m / s

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