Um farol está a 3   k m de uma praia reta e lança sobre ela um foco de luz. Se o foco gira com velocidade angular de 2   r p m , determine a velocidade com que a luz percorre a praia quando o foco estiver a 2   k m do ponto da praia mais próximo do farol.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

Nessa questão temos um foco de luz que está girando com uma velocidade angular de 2   r p m e iluminando uma praia. Um esquema desse problema é mostrado na figura a seguir:

Como a velocidade com que a luz percorre a praia é y ' , queremos achar y ' quando y = 2   k m . Nossa velocidade angular é representada por θ ' = 2   r p m e todas as derivadas vão ser tomadas em relação ao tempo. Assim, olhando o triângulo retângulo da figura, temos:

tan ⁡ θ = y 3 → θ = arctan ⁡ y 3

Essa relação que nós vamos derivar implicitamente em relação ao tempo.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a relação encontrada no passo 1 em relação ao tempo:

d θ d t = 1 1 + y 3 2 ∙ y 3 '

d θ d t = 9 9 + y 2 ∙ y ' 3

d θ d t = 3 y ' 9 + y 2

Passo 3

Agora isolando y ' , vamos obter:

y ' = 1 3 d θ d t 9 + y 2 = 1 3 θ ' ( 9 + y 2 )

Antes de substituirmos θ ' e y precisamos converter a velocidade angular de r p m para r a d / s . Para isso, basta multiplicar por 2 π :

θ ' = 2   r p m = 4 π   r a d / s

Assim,

y ' = 1 3 4 π 9 + 2 2 = 4 π 3 ( 9 + 4 )

y ' = 4 π 3 13

y ' = 52 π 3   k m / m i n

Portanto, a velocidade com que a luz percorre a praia quando o foco estiver a 2   k m do ponto da praia mais próximo do farol é de 52 π 3   k m / m i n .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

52 π 3   k m / m i n

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