Na figura abaixo, P ( x 0 ,   y 0 ) é o ponto de tangência da reta t com a curva y = 1 x ,   x > 0 . Sabendo que o ponto P se desloca sobre a curva mostre que:

(a) O triângulo O P Q é sempre isósceles.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que o triângulo O P Q é sempre isósceles, ou seja, que ele tem sempre dois lados iguais.

Nós sabemos que o ponto P é igual a ( x 0 ,   y 0 ) e o ponto O , na origem, é ( 0 ,   0 ) . Mas do ponto Q , nós só conhecemos a coordenadas y = 0 (porque ele toca o eixo x ), falta descobrir a coordenada x desse ponto. Mas porque isso é importante?

Porque descobrindo o ponto Q , nós vamos conseguir verificar a distância de P até Q e a distância de O até P . Se essas distâncias forem iguais, o triângulo terá dois lados iguais e será isósceles. Pra calcular a distância entre esses pontos, vamos usar a fórmula:

d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Vamos lá!

Passo 2

Pra encontrar a coordenada x de Q , vamos usar a equação da reta tangente t . A reta t passa por P = ( x 0 ,   y 0 ) e tem como coeficiente angular a derivada da função y = 1 x , que é y ' = - 1 x 2 . Então, no ponto dado, vamos ter:

y - y 0 = - 1 x 0 2 ( x - x 0 )

Usando y 0 = 1 x 0 , temos:

y = 1 x 0 - 1 x 0 2 ( x - x 0 )

Como o ponto Q é a interseção de t com o eixo x , fazendo y = 0 , vamos ter:

1 x 0 - 1 x 0 2 x - x 0 = 0

1 x 0 + 1 x 0 = x x 0 2

Isolando x :

2 x 0 2 x 0 = x

x = 2 x 0

Essa é a coordenada x de Q .

Passo 3

Como Q = ( 2 x 0 ,   0 ) , calculando a distância P Q , vamos ter:

d P Q = 2 x 0 - x 0 2 + 0 - y 0 2

d P Q = x 0 2 + y 0 2

Agora vamos verificar a distância entre O = ( 0 ,   0 ) e P = ( x 0 ,   y 0 ) :

d O P = x 0 - 0 2 + y 0 - 0 2

d O P = x 0 2 + y 0 2

Como as distâncias são iguais, nosso triângulo é isósceles, como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão que percorre uma estrada. O caminhão parte em t = 0 e retorna 15 h mais tarde, em t = 15.a. Use a técnica descrita no Exemplo
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1 3 x 2 c) Ache o rendimento real da venda da trigésima primeira carteira.
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função n = f t = a 1 + b e - 0,7 t Em que t é med
(a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de i 2a3i i2a2,5i i i 2a2 , 1 (b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2 (c) Mostre qu
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2 Encontre a corrente quando (a) t = 0,5 s