1 3 . Na figura abaixo, o segmento A B mede 26   c m e é tangente à circunferência de raio r = 5   c m no ponto B . O ponto C é determinado pela interseção da circunferência com o segmento O A . O ponto A inicia um movimento de descida, pela vertical, em direção ao ponto B a uma taxa constante de 0,25   c m / s .

A taxa com que se movimenta o ponto C , ao longo do arco C B , depois de 52 segundos do ponto A ter iniciado o seu movimento é

A : - 2 5 696   c m / s

B : - 5 776   c m / s

C : 25 776   c m / s

D : - 25 776   c m / s

E : 5 776   c m / s

Passo 1

Vem comigo que a gente vai detonar essa juntos!

Temos em mãos um problema que envolve taxas relacionadas. Ele quer saber a taxa com que o ponto C se move na circunferência quando depois de 52   s que A começou a andar, então o que ele quer a taxa com que o ângulo θ muda com o tempo.

Vamos chamar de x a distância entre A e B em um certo instante de tempo t , então temos que achar uma forma de relacionar θ e x .

Olhando a figura vemos que os pontos B ,   O e A são vértices de um triângulo retângulo, então:

tg ⁡ θ = x r

Onde r é o raio da circunferência. Assim:

tg ⁡ θ = x 5

⇒ x = 5 tg ⁡ θ

Agora a gente pode derivar os dois lados da expressão que encontramos pois assim teremos uma relação entre d x d t , que é a taxa com que A se move que o enunciado deu, e d θ d t que é a taxa com que o ângulo muda e o que queremos saber.

Passo 2

Então temos que:

x = 5 tg ⁡ θ

Usando que a derivada da tangente é secante ao quadrado, temos:

⇒ d x d t = 5 sec 2 ⁡ θ d θ d t

⇒ d θ d t = 1 5 1 sec 2 ⁡ θ d x d t

Usando o fato de que:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Temos:

d θ d t = 1 5 cos 2 ⁡ θ d x d t

Nós já conhecemos d x d t temos que saber quem é cos 2 ⁡ θ .

Passo 3

Vamos encontrar o cos ⁡ θ , para isso vamos usar a trigonometria ao nosso favor. Cosseno de um ângulo qualquer é dado pelo cateto adjacente sobre a hipotenusa do triângulo.

O cateto adjacente no nosso caso vai ser igual ao raio da circunferência e a para achar a hipotenusa teremos que usar o teorema de Pitágoras ao nosso favor, assim:

h = r 2 + d 2

Onde d nesse caso é a distância original entre A e B ( 26   c m ) menos o quanto o ponto A andou em 16   s .

Como o ponto A anda com uma velocidade de 0,25   c m / s , então em 52   s ele percorreu uma distância de 13   c m , logo temos que d = 26   c m - 13   c m = 13   c m .

Assim:

h = 5 2 + 13 2 = 194   c m

Então temos que:

cos ⁡ θ = 5 194

Passo 4

Usando o que encontramos para cos ⁡ θ , temos:

d θ d t = 1 5 5 194 2 d x d t

⇒ d θ d t = 1 5 25 194 d x d t

⇒ d θ d t = 5 1 94 d x d t

Usando que d x d t = 0,25   c m / s = 25 100 c m / s , assim:

d θ d t = 5 19 4 25 100

⇒ d θ d t = 5 776   c m / s

Então a alternativa correta é letra E .

Resposta

E : 5 776   c m / s

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