Uma mulher de 1,8 0   m de altura caminha em direção a um muro a uma razão de 4   m / s . Diretamente atrás dela e a 40   m do muro está um refletor 3   m acima do nível do solo.

Quão rápido o comprimento da sombra da mulher estará variando no muro quando ela estiver a meio caminho entre o refletor e o muro? A sombra está esticando-se ou encurtando-se?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa com que a sombra da mulher estará variando no muro quando ela estiver a meio caminho entre o refletor e o muro.

Vamos chamar de x ( t ) a distância da mulher até o muro e s ( t ) o comprimento da sombra no muro. Então, nós queremos encontrar a variação s ' ( t ) . Pra isso, vamos observar a nossa figura e encontrar uma relação no triângulo, a qual podemos derivar, usar os dados do enunciado e encontrar a nossa variação.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar considerando a reta saindo do refletor, passando pela cabeça da mulher até encontrar o muro. Assim, igualando Δ y Δ x do intervalo 0 até x e de x até 40 , obtemos que:

1,80 - s ( t ) x = 3 - 1,80 40 - x ( t )

1,80 - s ( t ) x = 1,2 40 - x ( t )

Fazendo meio pelos extremos, vamos ter:

1,80 - s ( t ) 40 - x ( t ) = 1,2 x

Quando x t = 20   m , temos o meio do caminho entre o refletor e o muro. Então, substituindo:

1,80 - s ( t ) 40 - 20 = 1,2 ∙ 20

36 - 20 s t = 24

Isolando s ( t ) :

s t = 3 5

Passo 3

Derivando a nossa relação do triângulo, 1,80 - s ( t ) 40 - x ( t ) = 1,2 x , vamos ter:

- s ' 40 - x + ( 1,80 - s ) ( - x ' ) = 1,2 x '

Então, substituindo x = 20   m , s t = 3 5   m / s , x ' = - 4   m / s (que é negativa porque x diminuiu quando caminhamos na direção do muro), obtemos:

- s ' 40 - 20 + 1,80 - 3 5 ( - ( - 4 ) ) = 1,2 ( - 4 )

- 20 s ' + 4,8 = - 4,8

Isolando s ' , temos a taxa com que a sombra da mulher estará variando no muro:

s ' = 0,48   m / s

Portanto, a sombra está esticando-se.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

s ' = 0,48   m / s

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