Um objeto com peso W é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao

longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a grandeza

da força é

F   =   μ W μ s e n ( θ )   +   c o s ( θ )

onde µ é uma constante chamada coeficiente de atrito. Encontre a taxa de variação de F em relação a θ .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos pede para calcular qual é a taxa de variação da força exercida em um objeto de peso W em relação ao ângulo θ . Vamos dar uma olhada na situação?

Então, a força sobre o objeto varia dependendo do ângulo que a corda faz com o objeto. Mas como podemos calcular essa taxa de variação? Calculando a derivada da força em relação ao ângulo!

Passo 2

Para calcular a derivada da força, vamos utilizar a regra da cadeia! A dependência da força com o ângulo pode ser escrita como

F ( θ )   =   μ W ( μ s e n ( θ ) + c o s ( θ ) ) - 1

Olhando a expressão da força, reconhecemos que se trata de uma função composta. Se definirmos uma função h ( y )   =   μ W × y - 1 e uma função y ( θ )   =   μ s e n ( θ ) + c o s ( θ ) , podemos escrever a força como

d d θ F ( θ ) =   d d y h ( y ) × d d θ y ( θ )  

Como a derivada da soma de funções é simplesmente a soma das derivadas e, como as derivadas de seno e cosseno são, respectivamente, d d θ s e n ( θ )   =   c o s ( θ ) e d d θ c o s ( θ )   =   - s e n ( θ ) , então

F ' ( θ ) = μ W × ( - 1 ) ( μ s e n ( θ ) + c o s ( θ ) ) - 2 × ( μ c o s ( θ ) - s e n ( θ ) )   =   μ W ( μ c o s ( θ ) - s e n ( θ ) ) ( μ s e n ( θ ) + c o s ( θ ) ) 2

Resposta

F ' ( θ )   =   μ W ( μ c o s ( θ ) - s e n ( θ ) ) ( μ s e n ( θ ) + c o s ( θ ) ) 2

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