Um peso W está preso a uma das extremidades de uma corda de 50   m de comprimento que passa por uma polia situada a 20   m acima do solo. A outra extremidade da corda, que se encontra esticada, está presa a um caminhão por um ponto situado 2   m acima do solo. Sabendo que o caminhão se afasta horizontalmente a uma velocidade de 9   m / s , determine a taxa de variação da altura do peso no instante em que o mesmo estiver a 6   m acima do solo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um sistema com uma corda de 50   m de comprimento, que suporta um peso W em uma extremidade e está ligada a um caminhão na outra extremidade. A corda passa por uma polia que está a uma altura de 20   m do solo e nós sabemos que o caminhão se movimenta com uma velocidade d x d t = 9   m / s . Então, a medida que o caminhã se afasta, ele puxa o peso da ooutra extremidade da corda pra cima.

Nós precisamos determinar a taxa com que esse peso sobe, ou seja, a variação de sua altura em relação ao tempo, d h d t . Vamos dar uma olhadinha no nosso sistema:

Observe que a altura da roldana P acima de O é de 18   m , porque O está 2   m acima do solo. Então, seja h a altura do peso W acima de O e z o comprimento da corda da roldana P até o caminhão. Nós vamos determinar d h d t quando h = 6   m . Sendo assim, considerando que o ângulo em O é um ângulo reto, em qualquer instante de tempo, vamos ter as seguintes relações no triângulo:

18 - h + z = 50

18 2 + x 2 = z 2

A partir dessas relações, nós vamos encontrar a derivada da altura em relação ao tempo.

Vamos lá!

Passo 2

Isolando z na primeira relação, vamos ter:

18 - h + z = 50

z = 32 + h

Substituindo na segunda equação do passo 1 , teremos:

18 2 + x 2 = z 2

18 2 + x 2 = 32 + h 2

Agora derivando ambos os lados da equação em relação a t , usando a regra da cadeia, temos:

2 x d x d t = 2 32 + h d h d t

E isolando d h d t na equação:

d h d t = x 32 + h d x d t

Passo 3

Como conhecemos d x d t , falta apenas determinar x no instante em que a altura h = 6   m . Da relação do triângulo que substituímos no passo 2 , temos:

18 2 + x 2 = 32 + h 2

18 2 + x 2 = 32 + 6 2

x 2 = 1444 - 324 = 1120

Tirando a raiz dos dois lados:

x = 1120 = 4 70

Substituindo esse valor na equação da variação da altura, com d x d t = 9   m / s e h = 6   m , teremos:

d h d t = x 32 + h d x d t

d h d t = 4 70 ( 32 + 6 ) ∙ 9 = 3 70 2

d h d t ≈ 12,55   m / s

Isso significa que a altura do peso no instante em que ele está a 6   m do solo, varia a uma taxa de aproximadamente 12,55   m / s .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d h d t ≈ 12,55   m / s

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