Um quadro de 1   m de altura é colocado em uma parede de tal forma que sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador que está se aproximando da parede a uma velocidade de 2   m / s . Com que velocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variando quando o observador estiver a 2   m da parede?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa com o ângulo de visão do quadro estará variando quando o observador estiver a 2   m da parede.

Vamos chamar de d ( t ) a distância entre a pessoa e a parede em função do tempo e de θ ( t ) o ângulo de visão do quadro. Observando o triângulo retângulo da figura, podemos escrever a relação:

tan ⁡ ( θ t ) = 1 d ( t )

A gente quer obter θ ' ( t ) , que é a variação do ângulo de visão. Pra isso, vamos derivar essa relação e usar os dados do enunciado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando implicitamente a relação do passo anterior:

θ ' ( t ) cos 2 ⁡ θ ( t ) = - d ' ( t ) d 2 ( t )

Sabendo que o quadro tem 1   m de altura e que a distância do observador é de 2   m , usando o teorema de Pitágoras, vamos achar o valor da hipotenusa:

h 2 = 1 2 + 2 2

h = 5

Dessa forma, vamos ter cos ⁡ ( θ ) = 2 5 . Sabendo que oobservador se aproxima da parede com uma velocidade d ' t = - 2   m / s (negativa porque a distância está diminuindo) e com o valor do cosseno, temos:

θ ' ( t ) cos 2 ⁡ θ ( t ) = - d ' ( t ) d 2 ( t )

θ ' ( t ) 2 5 2 = - ( - 2 ) ( 2 ) 2

Resolvendo pra θ ' ( t ) , vamos ter:

θ ' t = 1 2 2 5 2

θ ' t = 2 5   r a d / s

Que é a variação do nosso ângulo de observação.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

θ ' t = 2 5   r a d / s

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