8 - O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 m m / s . Quão rápido o volume está aumentando quando o diâmetro for 80 m m ?

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos uma esfera cujo raio aumenta a uma taxa de 4 m m / s .

Assim, queremos saber qual é a taxa de crescimento do volume quando o diâmetro da esfera for 80 m m .

De boa? 🤔

O volume de uma esfera é dado por

V = 4 3 π r 3

No caso, r é uma função no tempo r t e queremos obter a taxa d V / d t .

Sacou o que temos que fazer? 👀

Passo 2

Derivando os dois lados em relação a t , temos

d V d t = d 4 3 π r 3 d t

Como 4 3 π é uma constante, podemos tirar da derivada

d V d t = 4 3 π d r 3 d t

Lembra que r é uma função r t ? Então a derivada de r em função de t é obtida a partir da regra da cadeia, ou seja, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora...

d V d t = 4 3 π d r 3 d r · d r d t

d V d t = 4 3 π 3 r 2 · d r d t

d V d t = 4 π r 2 d r d t

Como a taxa de variação de r em t é de 4 m m / s e queremos saber a variação do volume quando o diâmetro da esfera for 80 m m , ou seja, r = 40 m m , temos

d V d t = 4 π 40 2 4

d V d t = 25600 π   m m 3 / s

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

d V d t = 25600 π   m m 3 / s

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