Um reservatório cônico de 20   m de profundidade e 10   m de diâmetro está recebendo água na razão de 1   m 3 / m i n . Determine:

a) A taxa de variação da altura do nível da água quando esta estiver a 6   m ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do nível da água, que nós vamos chamar de h , em relação ao tempo. Pra isso, nós temos uma taxa de variação do volume d V d t = 1   m 3 / m i n , porque ele está recebendo água, e um raio r = 5   m , que é metade do diâmetro ( d = 10   m ).

Vamos esboçar o cone pra entender melhor:

O que nós temos que fazer é encontrar d h d t quando h = 6   m . O volume e a altura são relacionados através da expressão do volume do cone:

V = 1 3 π r 2 h

Então, vamos tentar expressar V em função apenas de h , usando as relações de proporcionalidade da figura acima, derivar a expressão e substituir os dados para encontrar d h d t .

Vamos lá!

Passo 2

Olhando a figura do passo 1 , nós conseguimos relacionar o raio e a altura através da equação:

r h = 5 20

Isolando r , temos:

r = 5 h 20 → r = h 4

Substituindo esse valor de r na expressão do volume V , vamos ter:

V = 1 3 π h 4 2 h

V = π 48 h 3

Passo 3

Agora vamos derivar cada lado da equação acima em relação a t :

d V d t = π 16 h 2 d h d t

Isolando d h d t :

d h d t = 16 π h 2 d V d t

Agora substituindo h = 6   m e d V d t = 1   m 3 / m i n , temos:

d h d t = 16 π 6 2 ∙ ( 1 )

d h d t = 16 36 π = 4 9 π   m / m i n

Isso significa que a água está subindo a uma taxa de 4 9 π ≈ 0,14   m / m i n .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0,14   m / m i n

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