Um retângulo possui lados que variam com o tempo e está inscrito numa região triangular conforme a figura abaixo. Determine com que taxa a área do retângulo está variando no instante em que sua altura y mede 36   c m e está aumentando à taxa de 0,5   c m / s . Nesse instante a área está aumentando ou diminuindo?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um retângulo inscrito em um triângulo que está variando sua altura, e quer saber se a área do retângulo tá diminuindo ou aumentando, quando sua altura é y = 36   c m e temos uma taxa de variação da altura d y d t = 0,5   c m / s .

Isso quer dizer que precisamos encontrar a taxa de variação da área A ' = d A d t . Como a área do retângulo é A = x y , definindo x e y como funções de t , vamos obter A ' derivando essa equação implicitamente. Só que pra isso a gente precisa descobrir o valor de x , que vai ser a base do nosso retângulo. Nós conseguimos fazer isso definindo uma relação entre essas variáveis por semelhança de triângulos. Então, vamos lá!

Passo 2

Por semelhança de triângulos, olhando a figura, nós temos:

40 - x 40 = y 60

Com y = 36   c m , vamos ter:

60 40 - x = 40 ∙ 36

2400 - 60 x = 1440

→ x = 16   c m

Passo 3

Agora vamos usar nossa relação novamente para derivar e encontrar d x d t .

40 - x 40 = y 60

Derivando implicitamente, temos:

- 1 40 d x d t = 1 60 d y d t  

Como d y d t = 0,5   c m / s , vamos obter:

d x d t = - 40 1 60 ∙ 0,5

d x d t = - 1 3   c m / s

Passo 4

Mas a gente quer saber como a varia a área do retângulo A = x t ∙ y ( y ) , então vamos derivar implicitamente essa equação, usando a regra do produto:

A ' = x d y d t + y d x d t

Usando os valores que encontramos, d y d t = 0,5   c m / s , d x d t = - 1 3   c m / s , x = 16   c m e y = 36   c m , temos:

A ' = 16 ∙ 0,5 + 36 ∙ - 1 3

A ' = - 4   c m

Então, a área tá diminuindo nesse instante.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A ' = - 4   c m

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