2.8. Suponha que sobre um certo aberto A ⊂ R 3 o potencial elétrico V : A → R é dado por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z .

c. Qual o valor dessa taxa máxima?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos uma função potencial elétrico dada por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z e nosso objetivo é obter a máxima variação do potencial V no ponto P = 3,4 , 5 .

E agora? o que vamos fazer? 😬

Esse é um problema de derivadas direcionais onde temos que encontrar a direção onde a taxa de variação de uma função é a maior e a menos possível.

A derivada direcional de uma função f , em um ponto P e uma direção u → é dada pelo produto interno

D u f P = u → u → · f x P , f y P . f z P

Assim, o ponto de maior crescimento se dá na direção do vetor gradiente, ou seja

u → = f x P , f y P . f z P

Bora começar! 😎

Passo 2

Primeiro vamos obter as derivadas parciais de V

V x = ∂ 5 x 2 - 3 x y + x y z ∂ x = 10 x - 3 y + y z

V y = ∂ 5 x 2 - 3 x y + x y z ∂ y = - 3 x + x z

V z = ∂ 5 x 2 - 3 x y + x y z ∂ z = x y

Substituindo o ponto P nas derivadas, vamos obter

V x P = 10 3 - 3 4 + 4 5 = 38

V y P = - 3 3 + 3 5 = 6

V z P = 3 4 = 12

Portanto, o vetor u → que aponta para onde a função tem a maior taxa de variação é dado por

u → = 38,6 , 12

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Calculando o vetor unitário de u → , temos

u → u → = 38,6 , 12 38 2 + 6 2 + 12 2

u → u → = 38,6 , 12 2 406

Substituindo u → unitário e as derivadas parciais de V na fórmula da derivada direcional...

D u V P = u → u → · V x P , V y P . V z P

D u f P = 38,6 , 12 2 406 · 38,6 , 12

Calculando o produto interno

D u f P = 1 2 406 38 · 38 + 6 · 6 + 12 · 12

D u f P = 1 624 2 406

D u f P = 2 406

Com isso, vemos que a máxima variação nada mais é que o modulo do vetor gradiente aplicado a um ponto (essa é uma regra geral!)

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

D u f P = 2 406

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