Se um tanque contém, inicialmente, 5.000 galões de água, que escoa pelo fundo em 40 minutos,

então a Lei de Torricelli dá o volume V de água que restou no tanque depois de t minutos como

V   =   V ( t )   =   5000 1 - t 40 2 ,em que 0 ≤   t   ≤ 40

Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do tanque depois de: (a) 5 min, (b)

10 min, (c) 20 min e (d) 40 min.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos dá uma função V ( t ) que, para cada instante de tempo entre 0 minutos e 40 minutos, nos retorna o volume de água em galões que o tanque possui nesse instante de tempo. Por exemplo, para t = 0, ou seja, no instante inicial, temos que o tanque se encontra completamente cheio, se substituirmos t = 0 na função V ( 0 ) =   5000 1 - 0 2   =   5000 , enquanto que, no instante final, em t = 40 minutos, temos que o tanque está completamente vazio, porque V ( 40 )   =   5000 1 - 40 40 2   =   0 . A questão pede para encontrarmos a taxa de escoamento do tanque para diferentes instantes de tempo, então para isso, precisamos calcular sua derivada temporal para descobrir como a função varia no tempo! Bora derivar então! Para derivar essa função vamos utilizar a regra da cadeia, pois a função V ( t ) pode ser vista como uma composição das funções h ( y )   =   5000 y 2 e y ( t )   =   1   -   t 40 . Assim, a função V ( t ) pode ser escrita como V ( t )   =   h ( y ( t ) ) e sua derivada será dada através da regra da cadeia

V ' ( t )   = d d t V ( t )   = d d y h ( y ) × d d t y ( t )   = 10000 × y ( t ) × - 1 40 = - 250 1 - t 40  

Agora, temos uma função que para cada instante de tempo t dado nos dá a taxa de escoamento do tanque!

Passo 2

  1. Para descobrir a taxa de escoamento do tanque após 5 minutos, precisamos substituir t = 5 na função derivada V’(t). Fazendo isso, obtemos
  2. V ' ( 5 )   =   - 250 1 - 5 40   = -   250 × 1,125 = - 218,75   g a l õ e s / m i n

  3. Agora, para descobrir a taxa de escoamento do tanque após 10 minutos, fazemos t = 10 na função derivada V’(t):
  4. V ' ( 10 )   =   - 250 1 - 10 40   =   - 250 × 0,75 =   - 187,5   g a l õ e s / m i n

  5. Para t = 20 min, temos
  6. V ' ( 20 )   =   - 250 1 - 20 40   =   - 250 × 0,5 =   125   g a l õ e s / m i n

  7. Para t = 40, temos

V ' ( 40 )   =   - 250 1 - 40 40   =   0   g a l õ e s / m i n

Como esperado, no instante final, a taxa de escoamento é nula, pois o tanque está vazio.

Resposta

  1. -218,75 galões/min
  2. -187,5 galões/min
  3. -125 galões/min
  4. 0 galões/min

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