Quando o último vagão de um trem passa por baixo de um viaduto, um carro cruza o viaduto numa rodovia perpendicular aos trilhos e a 10   m acima deles. O trem está a 20   m / s e o carro a 40   m / s . Com que velocidade se afastam um do outro após 2   s ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa com que o trem e o carro se afastam, que é a velocidade d ' ( t ) . Sabendo que o trem passa por baixo de um viaduto perpendicular a rodovia que o carro está cruzando, em uma altura de 10   m acima dos trilhos.

Vamos chamar de x ( t ) a posição do carro e y ( t ) a posição do trem com a origem na interseção da rodovia e os trilhos do trem. Então, pelo teorema de Pitágoras, a distância d ( t ) entre eles satisfaz a equação:

d 2 t = x 2 t + y 2 t + 10 2

A partir dessa relação, vamos obter o valor de d em t = 2   s e obter o valor da velocidade d ' ( t ) nesse mesmo instante.

Vamos lá!

Passo 2

A gente viu que o carro e o trem passam pela origem da interseção entre eles em t = 0 s , então:

x 0 = 0

y 0 = 0

Em t = 2   s , o carro viaja com uma velocidade de 4 0   m / s e o trem está a 2 0   m / s , ent��o temos:

x 2 = 2 40 = 80   m

y 2 = 2 20 = 40   m

Substituindo esses valores na nossa relação dada pelo teorema de Pitágoras, vamos ter a distância d em t = 2   s :

d 2 2 = ( 80 ) 2 + 40 2 + 10 2

d 2 = 90   m

Passo 3

Derivando implicitamente nossa relação d 2 t = x 2 t + y 2 t + 10 2 , vamos ter:

2 d d ' = 2 x x ' + 2 y y '

Dividindo todo mundo por 2 :

d d ' = x x ' + y y '

No instante t = 2   s , como temos d = 9 0   m , x = 80   m , x ' = 4 0   m / s , y = 4 0   m , y ' = 20   m / s , a variação da distância entre o trem e o carro será:

9 0 ∙ d ' = 80 ∙ 4 0 + 4 0 ∙ ( 20 )

d ' = 400 9   m / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d ' ( 2 ) = 400 9   m / s

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