23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C em:

b)

∮ C   y + z d x + z + 2 x d y + x + y d z = - π

Onde C é a interseção do plano y = z com o cilindro x 2 + y 2 = 2 y .

Passo 1

AHHH! Se você não se lembra essa integral de linha é uma outra forma de escrever a integral de linha, mas não muda nada tá? Tipo

∮ C   y + z d x + z + 2 x d y + x + y d z = ∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → é o vetor...

F x ,   y ,   z = y + z ,   z + 2 x ,   x + y

O teorema de Stokes basicamente é a igualdade entre a integral de linha com uma integral de superfície do rotacional de um campo F → ...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

E o que vamos fazer é calcular essa integral dupla e provar que é igual ao valor que o problema nos deu. Então bora comigo 😉

Passo 2

Bem, mas o Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A curva C dada no problema é a intersecção do cilindro deslocado

x 2 + y 2 = 2 y           →                 x 2 + y 2 - 2 y = 0               →

x 2 + y - 1 2 - 1 = 0         →

x 2 + y - 1 2 = 1

Cilindro de raio 1 deslocado de uma unidade em y ...

plano y = z (plano paralelo ao eixo x )...

Veja alí a curva C ! Essa curva delimita várias superfícies, mas uma mais simples que a você deve ter notado é o próprio plano rosa (um disquinho deitado no plano):

Bem, a essa superfície daremos um nome hiper carinhoso de S (superfície S 😊)

Passo 4

A outra condição é:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F x ,   y ,   z = y + z ,   z + 2 x ,   x + y

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 5

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente, ou seja, se a curva estiver girando no sentido anti-horário quando vista de cima... Então pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Observação importantíssima: Cara, a gente não tem a informação na verdade para onde a curva está girando, inclusive isso é uma das coisas que precisamos descobrir. Então por enquanto assumimos que esse é o sentido e se o valor que encontrarmos for com sinal contrário, então saberemos qual é o sentido verdadeiro, saca?

Passo 6

Bem, nas condições do Teorema podemos sim aplicar a igualdade de boa:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Calculando o rotacional

r o t   F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Então...

F x ,   y ,   z = y + z ,   z + 2 x ,   x + y     →

r o t   F → = 1 - 1 ,   1 - 1 ,   2 - 1 →

r o t   F → = 0 ,   0 ,   1

Precisamos agora:

1º - Parametrizar a superfície S

2º - Encontrar o termo n → d S

Passo 7

Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...

y = z

Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o x é um cara livre (parâmetro) e z depende de y que também é um cara livre...

σ x ,   y = x ,   y ,   y

Agora esses parâmetros na verdade variam dentro do cilindro...

x 2 + y - 1 2 = 1

Por hora então, vamos apenas falar que o x e o y variam nessa projeção só para não perdermos o foco na integral de superfície 😉

Passo 8

Para encontrar o termo n → d S façamos...

n → d S = N →   d x d y

Onde o N → é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função z x ,   y ...

z x ,   y = y

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 →

N → = 0 ,   - 1 ,   1

Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D

Então...

n → d S = 0 ,   - 1 ,   1   d x d y

Passo 9

Jogando esses dados então na integral de superfície...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   0 ,   0 ,   1 ⋅ 0 ,   - 1 ,   1   d x d y =

∬ D   d x d y

Onde D é o cilindro (ou círculo se vista no plano x y )...

x 2 + y - 1 2 = 1

A integral de 1 d x d y nada mais é do que a área.

∬ D     d x d y = Á r e a   d e   D

Pow, área do círculo é conhecida...

∬ D     d x d y = π R 2

Como o raio de D é 1 (cilindro de raio 1 )...

∬ D     d x d y = π

Veja que pelo teorema de Stokes de fato a integral de linha vale...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = - π

Só tem um detalhe no sinal, pois encontramos o sinal positivo e não negativo como era pra ser, isso porquê quando escolhemos o sentido da curva escolhemos o contrário do que realmente acontece... Logo a curva gira no senti horário quando vista de cima:

Resposta

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = - π

A curva gira no sentido horário quando vista de cima.

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