23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C em:

d)

∮ C   8 x - 2 y d x + y d y + 3 z   d z = - 4

Onde C é a fronteira do triângulo situado no plano x + z = 2 , de vértices 2 ,   0 ,   0 ,   2 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2 .

Passo 1

AHHH! Se você não se lembra essa integral de linha é uma outra forma de escrever a integral de linha, mas não muda nada tá? Tipo

∮ C   8 x - 2 y d x + y d y + 3 z   d z = ∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → é o vetor...

F x ,   y ,   z = 8 x - 2 y ,   y ,   3 z

O teorema de Stokes basicamente é a igualdade entre a integral de linha com uma integral de superfície do rotacional de um campo F → ...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

E o que vamos fazer é calcular essa integral dupla e provar que é igual ao valor que o problema nos deu. Então bora comigo 😉

Passo 2

Bem, mas o Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A curva C dada no problema é a fronteira do triângulo de vértices 2 ,   0 ,   0 ,   2 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2 . Para desenha-lo primeiro coloca esses pontos no espaço...

Depois é só desenhar o triângulo:

Veja alí a curva C !

Essa curva delimita várias superfícies, mas uma mais simples que a você deve ter notado é o próprio triângulo em cima do plano que o problema nos falou x + z = 2 .

Bem, a essa superfície daremos um nome hiper carinhoso de S (superfície S 😊)

Passo 4

A outra condição é:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F x ,   y ,   z = 8 x - 2 y ,   y ,   3 z

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 5

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente, ou seja, se a curva estiver girando no sentido anti-horário quando vista de cima... Então pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Observação importantíssima: Cara, a gente não tem a informação na verdade para onde a curva está girando, inclusive isso é uma das coisas que precisamos descobrir. Então por enquanto assumimos que esse é o sentido e se o valor que encontrarmos for com sinal contrário, então saberemos qual é o sentido verdadeiro, saca?

Passo 6

Bem, nas condições do Teorema podemos sim aplicar a igualdade de boa:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Calculando o rotacional

r o t   F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Então...

F → x ,   y ,   z = 8 x - 2 y ,   y ,   3 z       →

r o t   F → = 0 - 0 ,   0 - 0 ,   0 - - 2 →

r o t   F → = 0 ,   0 ,   2

Precisamos agora:

1º - Parametrizar a superfície S

2º - Encontrar o termo n → d S

Passo 7

Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...

x + z = 2

Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o x é um cara livre (parâmetro) e z depende de y que também é um cara livre...

σ x ,   y = x ,   y ,   2 - x

A projeção do triângulo laranja no plano x y é justamente esse triângulo amarelo:

Os parâmetros x y variam justamente nesse triangulo amarelo. Por hora então, vamos apenas falar que o x e o y variam nessa projeção só para não perdermos o foco na integral de superfície 😉

Passo 8

Para encontrar o termo n → d S façamos...

n → d S = N →   d x d y

Onde o N → é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função z x ,   y ...

z x ,   y =   2 - x

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 →

N → = 1 ,   0 ,   1

Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D

Então...

n → d S = 1 ,   0 ,   1   d x d y

Passo 9

Jogando esses dados então na integral de superfície...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   0 ,   0 ,   2 ⋅ 1 ,   0 ,   1   d x d y =

∬ D   2   d x d y =

2 ∬ D     d x d y

A integral de 1 d x d y nada mais é do que a área.

2 ∬ D     d x d y = 2 Á r e a   d e   D

Pow, área do triângulo amarelo é conhecida

2 Á r e a   d e   D = 2 b × h 2 =

Onde b é a base e h é a altura. Observando o triângulo, percebemos que

h = 2 e a base é b = 2

2 b × h 2 = 2 b × h 2 = 4

Veja que pelo teorema de Stokes de fato a integral de linha vale...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = - 4

Só tem um detalhe no sinal, pois encontramos o sinal positivo e não negativo como era pra ser, isso porquê quando escolhemos o sentido da curva escolhemos o contrário do que realmente acontece... Logo a curva gira no senti horário quando vista de cima.

Resposta

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = - 4

A curva gira no sentido anti-horário quando vista de cima.

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Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y c o s c o szi → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x .
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