35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Em uma integral de linha e calcule:

a) F → x ,   y ,   z = y k → , S :     r → u ,   v = u ,   v ,   u 2 + v 2 , com u 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n → a normal apontando para cima.

Passo 1

Pelo próprio problema, temos que transformar a integral de superfície em uma integral de linha. Ora! O teorema de Stokes já nos dá essa igualdade:

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∫ C   F → ⋅ d r →

Agora, para aplicar essa igualdade existem algumas restrições que precisamos ter cuidado:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 2

Bem, a superfície que ele nos deu, já está parametrizada então a gente pode fazer meio que o processo contrário da parametrização para a gente ver que superfície se trata, neh?

S :     r → u ,   v = u ,   v ,   u 2 + v 2

Aqui a gente tem que

x = u

y = v

z = u 2 + v 2

Como z é o cara que depende de u e v , então...

z = x 2 + y 2

Eita que chegamos em um cara bem conhecido. Chagamos ao paraboloide:

Passo 3

Mas esse cara não é infinito neh? Queremos só um pedacinho dele. Para saber quem é esse pedacinho, analisemos a restrição que o problema nos deu

u 2 + v 2 ≤ 1   →

Ou seja...

z ≤ 1

Veja bem, z = 1 é um plano paralelo ao plano x y ...

Logo, o pedacinho do paraboloide que queremos é esse cara aqui oh, com a borda sendo uma circunferência de raio 1 no plano z = 1 :

Com isso, agora conhecemos a superfície S (o paraboloide) e também a curva C que delimita essa superfície (a circunferência). Viu só 😊

Passo 4

As outras duas condições do problema nos pedem que tenhamos:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F → x ,   y ,   z = y k →

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente. Pow, como o vetor n → aponta pra cima

Pela regra da mão direita temos que ter uma cura girando no sentido anti-horário quando vista de cima:

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Passo 5

Com a as três condições de boa, podemos aplicar a igualdade sem problema algum:

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∫ C   F → ⋅ d r →

Para resolver a integral de linha pelo método direto que conhecemos, façamos:

1º - Parametrizar a curva C .

2º - Encontrar d r → .

3º - Encontrar F → em termos da parametrização.

Passo 6

A curva C é uma circunferência de raio 1 que está em cima do plano z = 1 ...

Essa circunferência como vimos tem equação...

x 2 + y 2 = 1

Então por semelhança com equação fundamental sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 ...

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

O z da curva é bem conhecido...

z = 1

Logo a parametrização escrita de uma forma mais elegante é...

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   1

Onde t dá uma volta completa girando de 0 ° até 360 ° , formando a curva redonda completa, saca?

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 7

A nossa segunda tarefa é determinar o termo d r → ...

d r → = γ ' t d t →

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   1                       →                     γ ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0

Aqui só tem um detalhe muito importante. Para onde a curva gira com essa parametrização? Ora, essa e uma parametrização clássica onde a curva gira sempre no sentido anti-horário quando vista de cima:

Ai eu te pergunto, é isso que a gente quer? SIM! Então vamos deixar do jeito como está! Se não tivesse, a gente mudaria o sinal da derivada, ok...

γ ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0         →             d r → = - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0 d t

Sacou? Fique atento a isso! 😉

Passo 8

Como terceira e última tarefa antes de integrar tudo, só temos que transformar o campo F → ...

F → x ,   y ,   z = y k →       →           F → x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   y

Como y = sin ⁡ t ...

F → x ,   y ,   z = 0 ,   0 , sin ⁡ t

Passo 9

Jogando tudo na integral de linha...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 0 ,   0 , sin ⁡ t ⋅ - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0 d t   →

Calculando o produto escalar...

∫ 0 2 π 0 d t = 0

Resposta

0

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