32) Calcule

∫ C   z - y d x + ln ⁡ 1 + y 2 d y + ln ⁡ 1 + z 2 + y d z

Sendo C dada por r → t = 4 cos ⁡ t ,   4 sin ⁡ t ,   4 - 4 cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Uma integral de linha como essa a gente sabe que tem dois meios basicamente que podemos resolver:

1º - Resolver pelo método diretão.

2º - Resolver pelo teorema de Stokes.

Bem, do modo diretão você pode desconfiar que não é, pois ele já até nos deu a curva parametrizada, e ele não ia facilitar neh! Oh e, além disso, um campo F → como aquele não é nada fácil de se trabalhar. Podemos pensar então em fazer pelo segundo método mesmo:

O teorema de Stokes

Passo 2

Tão tá bom sabemos que Stokes pode resolver o problema, mas o que ele fala mesmo? Bem basicamente ele iguala a integral de linha com uma de superfície dessa forma aqui:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Assim, ao invés de termos que calcular uma integral de linha, podemos calcular uma integral de superfície 😉!

Porém Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A curva C dada no problema é a curva parametrizada dessa fora:

r → t = 4 cos ⁡ t ,   4 sin ⁡ t ,   4 - 4 cos ⁡ t

Veja aqui que

x = 4 cos ⁡ t

y = 4 sin ⁡ t

z =   4 - 4 cos ⁡ t

E com essas igualdades podemos tirar algumas concussões:

  • Pow, com o x e o y dessa forma, se fizermos x 2 + y 2 , a gente desaparece com aqueles senos e cossenos:
  • x 2 + y 2 = 16 cos 2 ⁡ t + 16 sin 2 ⁡ t =

    16 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t =

    16

    E a superfície de equação x 2 + y 2 = 16 é uma velha amiga nossa (o cilindro):

  • Como z = 4 - 4 cos ⁡ t , substituindo a expressão do y ...

z = 4 - x

Que também é um velho conhecido (um plano paralelo ao eixo y ):

Veja que a junção dessas duas superfícies no espaço é a curva que a gente está trabalhando.

Com esse desenho a gente consegue ver que a curva C de fato é fechada e ela delimita váaaaarias superfícies, mas a mais interessante é o próprio disco em cima do plano z = 4 - x .

A essa superfície daremos o nome de superfície S (apenas um modo carinhoso de referir a este disquinho 😉).

Passo 4

A outra condição é:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F x ,   y ,   z = z - y , ln ⁡ 1 + y 2 ,   ln ⁡ 1 + z 2 + y

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 5

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente. Pow, com a parametrização dessa forma aqui:

r → t = 4 cos ⁡ t ,   4 sin ⁡ t ,   4 - 4 cos ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Então a curva só pode estar girando no sentido anti-horário, afinal essa parametrização é manjada e sempre acontece isso.

Pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície circular.

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Passo 6

Com as condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa nice:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Onde a gente pode encontrar esse rotacional numa boa fazendo...

r o t   F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Como

F → x ,   y ,   z = z - y , ln ⁡ 1 + y 2 ,   ln ⁡ 1 + z 2 + y       →

Então...

r o t   F → = 1 - 0 ,   1 - 0 ,   0 - - 1 →

r o t   F → = 1 ,   1 ,   1

Para calcular a integral de superfície e fugir da integral de linha, precisamos:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n →   d S .

Bora?

Passo 7

Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...

z = 4 - x

Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o x é um cara livre (parâmetro) e z depende de y que também é um cara livre...

σ x ,   y = x ,   y ,   4 - x

Agora esses parâmetros x y estão variando dentro do cilindro que é quem delimita o plano z = 4 - x formando o disquinho elíptico.

Então a gente pode falar que, vendo de cima pra baixo, o x e o y estão variando...

No círculo de raio 4 devido a equação do cilindro ( x 2 + y 2 = 16 ).

Então por hora, vamos apenas falar que o x e o y estão variando dentro da região circular

x ,   y ∈ D

Passo 8

Para o termo n →   d S , que é a nossa segunda tarefa na resolução da integral de superfície...

n → d S = N →   d x d y

Onde o N → é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função z x ,   y ...

z x ,   y = 4 - x

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 →

N → = 1 ,   0 ,   1

Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D

Então...

n → d S = 1 ,   0 ,   1   d x d y

Passo 9

Jogando esses dados então na integral de superfície...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   1 ,   1 ,   1 ⋅ 1 ,   0 ,   1   d x d y =

Calculando o produto escalar...

∬ D   2   d x d y

Poxa, a integral de   d x d y é a área de D ...

2 π R 2 →

Como o raio desse círculo é 4 ...

2 π 4 2 = 32 π

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = 32 π

Pelo teorema de Stokes...

∫ C   z - y d x + ln ⁡ 1 + y 2 d y + ln ⁡ 1 + z 2 + y d z = 32 π

Resposta

32 π

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