29) Calcule

∮ C   e - x 3 / 3 - y z d x + e - y 3 / 3 + x z + 2 x d y + e z 3 / 3 + 5 d z

Onde C é dada por r → t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   2 , t ∈ 0 ,   2 π .

Passo 1

Uma integral de linha como essa a gente sabe que tem dois meios basicamente que podemos resolver:

1º - Resolver pelo método diretão.

2º - Resolver pelo teorema de Stokes.

Bem, do modo diretão você pode desconfiar que não é neh, pois ele já até nos deu a curva parametrizada! Oh e além disso um exponencial elevado um cosseno não é nada fácil de se trabalhar. Por isso, podemos pensar em fazer pelo segundo método mesmo:

O teorema de Stokes

Passo 2

Tão tá bom sabemos que Stokes pode resolver o problema, mas o que ele fala mesmo? Bem basicamente ele iguala a integral de linha com uma de superfície dessa forma aqui:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Assim, ao invés de termos que calcular uma integral de linha, podemos calcular uma integral de superfície 😉!

Porém Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A curva C dada no problema é a curva parametrizada dessa fora:

r → t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   2

Veja aqui que

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

z = 2

E com essas igualdades podemos tirar algumas concussões:

  • Primeiro que estamos trabalhando com alguém no plano z = 2 , afinal esse cara é sempre dois na parametrização.
  • Segundo que costumamos parametrizar o x e o y dessa forma (com cosseno e seno) quando se trata de uma circunferência:

x = R cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ θ

Eita! Com essas conclusões a gente chega que só podemos estar falando da circunferência de raio 1 em cima do plano z = 2 ...

Essa curva é obviamente fechada e ela delimita uma superfície muito bacana dentro dela: o círculo no plano z = 2 😊

Passo 4

A outra condição é:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F x ,   y ,   z = e - x 3 / 3 - y z , e - y 3 / 3 + x z + 2 x ,   e z 3 / 3 + 5

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 5

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente. Pow, com a parametrização dessa forma aqui:

r → t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   2   e   t ∈ 0 ,   2 π

Então a curva só pode estar girando no sentido anti-horário, afinal essa parametrização é manjada e sempre acontece isso 😉

Pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície circular

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Passo 6

Com as condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa nice:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Onde a gente pode encontrar esse rotacional numa boa fazendo...

r o t   F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Como

F → x ,   y ,   z = e - x 3 / 3 - y z , e - y 3 / 3 + x z + 2 x ,   e z 3 / 3 + 5       →

Então...

r o t   F → = 0 - x ,   - y - 0 ,   z + 2 - - z →

r o t   F → = - x ,   - y ,   2 z + 2

Para calcular a integral de superfície e fugir da integral de linha, precisamos:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n →   d S .

Bora?

Passo 7

Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...

z = 2

Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o x é um cara livre (parâmetro) e z depende de y que também é um cara livre...

σ x ,   y = x ,   y ,   2

Agora esses parâmetros x y estão variando dentro do círculo que é quem delimita o plano z = 2 ...

Então por hora, vamos apenas falar que o x e o y estão variando dentro da região circular de raio 1 que é o mesmo raio do cilindro...

x ,   y ∈ D

A gente até poderia usas as polares e descrever x e y , mas a gente não pode perder o foco neh? Depois a gente faz isso então.

Passo 8

Para o termo n →   d S , que é a nossa segunda tarefa na resolução da integral de superfície...

n → d S = N →   d x d y

Onde o N → é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função z x ,   y ...

z x ,   y = 2

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 →

N → = 0 ,   0 ,   1

Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D

Então...

n → d S = 0 ,   0 ,   1   d x d y

Passo 9

Jogando esses dados então na integral de superfície...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   - x ,   - y ,   2 z + 2 ⋅ 0 ,   0 ,   1   d x d y =

∬ D   2 z + 2   d x d y

Como o z da superfície é igual a 2 , então...

∬ D   2 z + 2   d x d y = 6 ∬ D     d x d y

Poxa, a integral de   d x d y é a área de D ...

6 π R 2

Como o raio desse círculo em z = 2 é 1 ...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = 6 π

Pelo teorema de Stokes...

∮ C   e - x 3 / 3 - y z d x + e - y 3 / 3 + x z + 2 x d y + e z 3 / 3 + 5 d z = 6 π

Resposta

6 π

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