Calcule ∫ ∫ S ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S sendo:

( c ) F → ( x , y , z ) = ( x 2 , z , y z ) e S a parte do hiperbolóide x 2 + y 2 - z 2 = 1 limitada por x 2 + y 2 = 4 com normal que aponta para o eixo z .

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Temos que calcular a seguinte integral de superfície

∫ ∫ S ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S

em que o campo vetorial considerado é dado por

F → ( x , y , z ) = ( x 2 , z , y z )

Existe uma identificação bastante direta da integral indicada, pois ela é o lado direito do teorema de Stokes na forma

∫ γ v → ⋅ d r → = ∫ ∫ S ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S

ou, também podemos fazer a seguinte identificação

∫ ∫ S ' ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S ' = ∫ ∫ ∫ W d i v ( r o t ( F → ) ) ⋅ d V

mas note que no lado esquerdo temos uma superfície S ' que é fronteira do sólido W . Para sabermos qual identificação vale a pena trabalhar, precisamos verificar a nossa superfície! Saca só!

Passo 2

A nossas região pode ser visualizada como

Note que o teorema de Stokes não será útil, não existe uma curva γ que seja fronteira de nossa superfície. No entanto, a nossa superfície é a lateral de um sólido W , que tem como base e tampa dois planos. Então, podemos considerar o teorema da divergência de Gauss, usando um S ' da forma

S ' = S + S b a s e + S t a m p a

que é fronteira de W , e portanto, a nossa integral pode ser identificada como

∫ ∫ S ' ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S ' = ∫ ∫ S ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S + ∫ ∫ S b a s e ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → b a s e d S b a s e + ∫ ∫ S t a m p a ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → t a m p a d S t a m p a = ∫ ∫ ∫ W d i v ( r o t ( F → ) ) ⋅ d V

Pode não parecer, mas isso facilita muito a nossa vida! Vem comigo!

Passo 3

O lado direito desta expressão tem como integrando a relação

d i v ( r o t ( F → ) )

a divergência de qualquer rotacional é sempre nula, portanto, temos que

d i v ( r o t ( F → ) ) = 0

e, a nossa integral é resumida à

∫ ∫ S ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S + ∫ ∫ S b a s e ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → b a s e d S b a s e + ∫ ∫ S t a m p a ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → t a m p a d S t a m p a = 0

Ou seja, a integral de superfície que queremos é dada por

∫ ∫ S ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S = - ∫ ∫ S b a s e ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → b a s e d S b a s e - ∫ ∫ S t a m p a ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → t a m p a d S t a m p a

Vamos tentar expandir o lado direito da expressão acima verificando quem são S b a s e e S t a m p a . Bora lá!

Passo 4

Temos que a base e a tampa são planos obtidos através da intersecção do hiperbolóide com o cilindro, portanto, temos da equação do hiperbolóide que

x 2 + y 2 = 1 + z 2

mas, o cilindro nos diz que x 2 + y 2 = 4 , portanto, obtemos

4 = 1 + z 2

desta maneira, os dois planos são simplesmente

z = ± 3

E, quem são os vetores normais a estes planos? Note que o enunciado nos indica que o vetor normal da superfície S aponta para o eixo z , portanto, estamos considerando a normal interior ao sólido. De forma, que nas tampas temos as normais

N → b a s e = ( 0,0 , 1 ) e N → t a m p a = ( 0,0 , - 1 )

Vamos usar isso para resolver a nossa integração! Saca só!

Passo 5

Nós temos que calcular

∫ ∫ S ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S = - ∫ ∫ S b a s e ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → b a s e d S b a s e - ∫ ∫ S t a m p a ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → t a m p a d S t a m p a

Como temos que

N → b a s e = ( 0,0 , 1 ) = - N → t a m p a

A integral acima se torna

∫ ∫ S ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S = - ∫ ∫ S b a s e ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → b a s e d S b a s e + ∫ ∫ S t a m p a ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → b a s e d S t a m p a

e, uma vez que a região delimitada pelo cilindro é a mesma em S b a s e e S t a m p a , temos que as integrais são numericamente iguais, e sendo assim

∫ ∫ S ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S ( r o t ( F → ) ) ⋅ N → d S = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → , S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção po
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sug
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê