Considere a superfície hemisférica S = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 16 , z > 0 (orientada com vetores normais unitários para cima) e o campo F x , y , z = y - 4,3 x y , 2 x z + z 2 . Seja

I = ∮ ∂ S   F . d r

Onde ∂ S é o bordo de S , orientado no sentido anti-horário (vista de cima).

  1. Usando o Teorema de Stokes, calcule I (dica: escolha uma superfície que facilite as contas).
  2. Confira o resultado do item anterior calculando I diretamente, ou seja, pela definição de integral de linha.

(obs: s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2 )

Passo 1

Letra a)

Bom, primeiro, vamos descobrir quem é ∂ S . Temos a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 16 (que é uma esfera de raio 4 ) cortada pelo plano z = 0 , o que nos dá uma circunferência de raio 4 no plano x y : x 2 + y 2 = 16

Passo 2

Beleza, agora, para aplicar Stokes, precisamos de um superfície que tenha ∂ S como bordo. Bom, vamos usar S né? Já que podemos escolher a superfície, por que não usar uma mais simples? Como o disco do plano z = 0 que contem essa circunferência.

Vamos usar então o disco φ x , y = ( x , y , 0 )

Onde

x 2 + y 2 ≤ 16

Calculando a normal:

φ x = 1,0 , 0

φ y = ( 0,1 , 0 )

φ x × φ y = i j k 1 0 0 0 1 0 = 0,0 , 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F

F x , y , z = y - 4,3 x y , 2 x z + z 2

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 0 - 0,0 - 2 z , 3 y - 1  

Passo 4

Agora, podemos aplicar Stokes (sendo D o disco):

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ D   r o t F → . n → d s = ∬ R   0 - 0,0 - 2 z , 3 y - 1 . ( 0,0 , 1 ) d x d y

Onde R é dado por x 2 + y 2 ≤ 16 .

Levando para a integral:

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ R   3 y - 1 d x d y =

Escrevendo o círculo em coordenadas polares:

∮ ∂ S   F → . d r = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 3 r sen ⁡ θ - 1 r d r d θ =

= ∫ 0 2 π r 3 sen ⁡ θ - r 2 2 0 4 d θ =

= ∫ 0 2 π 64 sen ⁡ θ - 8 d θ =

= - 64 cos ⁡ θ - 8 θ 0 2 π =

= - 16 π

Passo 5

Letra b)

Agora vamos resolver isso aí pela definição de integral de linha. Vamos começar parametrizando a curva ∂ S em coordenadas polares com r = 4 :

σ θ = 4 cos ⁡ θ ,   4   s e n   θ , 0

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Agora, derivamos isso aí:

σ ' θ = - 4 s e n   θ ,   4 cos ⁡ θ , 0

Passo 6

Agora, vamos aplicar a fórmula:

∫ ∂ S   F . d r = ∫ a b F σ → θ . σ → ' θ d θ

Escrevendo o campo

F x , y , z = y - 4,3 x y , 2 x z + z 2

Nas variáveis da parametrização

F σ θ = 4 4   s e n   θ - 1,12 cos ⁡ θ s e n   θ , 0

Levando tudo para a integral

∫ ∂ S   F . d r = 4 ∫ 0 2 π   s e n   θ - 1,12 cos ⁡ θ s e n   θ , 0 - 4 s e n   θ ,   4 cos ⁡ θ , 0 . d θ

= 16 ∫ 0 2 π -   s e n 2   θ + s e n   θ + 12 cos 2 ⁡ θ s e n   θ d θ =

Usando a relação

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

= 16 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t 2 - 1 2 + s e n   θ + 12 cos 2 ⁡ θ s e n   θ d θ

= 16 s e n   2 θ 4 - θ 2 - cos ⁡ θ - 4 cos 3 ⁡ θ 0 2 π =

= 16 - π =

= - 16 π

Resposta

  1. - 16 π
  2. - 16 π

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