Use o Teorema de Stokes para calcular a integral ∫ c F ∙ d r do campo vetorial F x ,   y ,   z = ( y z ,   2 x z ,   x y ) , onde C é a curva dada pela interseção do cilindro x 2 + y 2 = 16 com o plano z = 5 , orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma função vetorial F x ,   y ,   z e pediu pra gente calcular a integral dela sobre a superfície C usando o Teorema de Stokes. Mas vamos por partes, primeiro vamos entender que superfície é essa. Ele nos disse que C é dado pela interseção do cilindro x 2 + y 2 = 16 com o plano z = 5 , no gráfico isso fica assim:

Repare que a interseção do cilindro em vermelho com o plano em azul claro é justamente a circunferência que aparece ali sombreada (guarda essa informação). Nós precisamos calcular a integral ∫ c F ∙ d r do campo vetorial e ele pediu pra gente fazer isso usando o Teorema de Stokes. Mas que Teorema é esse?

O Teorema de Stokes nos diz que a integral de linha ∫ c F ∙ d r do campo vetorial, em uma superfície fechada, simples e com orientação positiva, pode ser calculada através da relação:

∫ c F ∙ d r = ∬ S r o t   F ∙ n d S

Então, a gente transforma uma integral de linha em uma integral dupla de superfície. No nosso caso, S é a circunferência que aparece ali em cima (da interseção entre o cilindro e o plano). Além disso, n é o vetor normal à superfície e r o t   F é o rotacional da função vetoria F x ,   y ,   z = F 1 ,   F 2 ,   F 3 , que é calculado por:

r o t   F = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y  

Então, nós vamos calcular o rotacional da função, encontrar o vetor normal da superfície S e aplicar na integral fazendo as mudanças de coordenadas necessárias.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo nossa superfície S . Nós já vimos que a interseção entre o cilindro e o plano vai nos fornecer uma circunferência, mas que circunferência é essa? Ela vai ser dada pela borda do cilindro x 2 + y 2 = 16 . Se nós pegarmos o disco do plano z = 5 , vamos ter a função:

ϕ x ,   y = ( x ,   y ,   5 )

Onde x 2 + y 2 ≤ 16 é a nossa região D .

Pra calcular o vetor normal a essa região, precisamos calcular o produto vetorial ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y .

Então, vamos começar derivando a função ϕ em relação a x :

∂ ϕ ∂ x = 1 ,   0 ,   0

Agora derivando em relação a y :

∂ ϕ ∂ y = ( 0 ,   1 ,   0 )

Calculando o produto vetorial, vamos ter:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = i → j → k → 1 0 0 0 1 0

O determinante no dá:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = k → = ( 0 ,   0 ,   1 )

Esse é o nosso vetor normal n → = ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional da função F x ,   y ,   z = ( y z ,   2 x z ,   x y ) usando a fórmula:

r o t   F = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y  

Calculando as derivadas parciais das componentes F 1 = y z , F 2 = 2 x z e F 3 = x y vamos ter:

r o t   F = x - 2 x , y - y , 2 z - z  

r o t   F = ( - x ,   0 ,   z )

Substituindo na integral, junto com o vetor n , temos:

∫ c F ∙ d r = ∬ S r o t   F ∙ n d S

= ∬ D - x ,   0 ,   z ∙ 0 ,   0 ,   1 d x d y

Vamos calcular esse produto escalar no integrando:

∬ D [ - x ∙ 0 + 0 ∙ 0 + z ∙ 1 ]   d x d y

∬ D z   d x d y

Mas o enunciado disse que z = 5 , então temos:

∬ D 5   d x d y

Passo 4

Lembra que a gente definiu D lá no passo 2 ? Ele é a nossa região de integração:

D = x ,   y ;   x 2 + y 2 ≤ 16  

Como a gente sabe que ela é uma circunferência, o ângulo θ varia de 0 a 2 π . E o raio é dado pela equação, x 2 + y 2 ≤ r 2 . Logo:

0 ≤ r ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

Pra facilitar nossa vida na hora de integrar, vamos fazer uma mudança para coordenadas polares, onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Substituindo na integral, temos:

∬ D 5   d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 5   r   d r   d θ

Integrando em relação a r :

∫ 0 2 π ∫ 0 4 5   r   d r   d θ = ∫ 0 2 π 5 r 2 2 0 4 d θ

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 2 π 5 ( 4 ) 2 2 - 5 0 2 2 0 4 d θ

∫ 0 2 π 40 d θ

Agora integrando em relação a θ , temos:

∫ 0 2 π 40 d θ = 40 θ 0 2 π

Aplicando os limites de integração em θ :

= 40 2 π - 40 ( 0 )

= 80 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

80 π

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