Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → ,   onde

F → x , y , z = x 2 z i → + x y 2 j → + z 2 k →

e C é a curva da intersecção do plano x + y + z = 1 com o cilindro x 2 + y 2 = 9 com orientação no sentido anti-horário quando visto de cima.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A curva de fronteira está no plano z = 1 - x - y

Assim z = g x , y = 1 - x - y .

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 :

n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 = ( 1,1 ,   1 )

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano x y é um círculo de raio 3 . Em coordenadas polares temos x = r c o s θ e   y = r s e n ( θ ) e os limites vão ser:

0 ≤ r ≤ 3 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o elemento de área vai ser: d A = r d r d θ

Passo 2

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de F → :

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 z x y 2 z 2 = i → ∂ ∂ y ( z 2 ) - ∂ ∂ z ( x y ² ) + j → ∂ ∂ z ( x ² z ) - ∂ ∂ x ( z ² ) + k ��� ∂ ∂ x ( x y ² ) - ∂ ∂ y ( x ² z )

∇ × F → = 0 , x 2 , y 2

O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

∇ × F → ⋅ n → = 0 , x 2 , y 2 ⋅ 1,1 , 1 = x 2 + y 2 = r 2

Passo 3

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π r 4 4 0 3 d θ = 3 4 4 ∫ 0 2 π d θ

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 81 4 . 2 π = 81 π 2

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 81 π 2

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