Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Passo 1

Para começar precisamos ver primeiro, as regiões positivas e negativas desse módulo. Para isso vamos encontrar as raízes do polinômio.

x 2 - 4 x + 3 = 0

Resolvendo por soma e produto ou por qualquer outro método encontramos que as raízes são x = 1 e x = 3 . Aí, vamos ter que acionar aqueles conhecimentos de concavidade de parábolas agora. Lembra que, quando o valor de a na parábola é positivo, a concavidade é voltada para cima, o que no nosso caso implica em

x 2 - 4 x + 3 = x 2 - 4 x + 3   s e   x < 1  

x 2 - 4 x + 3 = - ( x 2 - 4 x + 3 )   s e   1 < x < 3   e

x 2 - 4 x + 3 = x 2 - 4 x + 3     s e   x > 3

Mas e agora, como continuamos?

Passo 2

Temos que dividir nosso problema em 3 integrais

∫ 0 4 x 2 - 4 x + 3   d x = ∫ 0 1 x 2 - 4 x + 3   d x - ∫ 1 3 x 2 - 4 x + 3   d x + ∫ 3 4 x 2 - 4 x + 3   d x    

Atenção nesse sinal! Já que vimos que o modulo vai ter sinal negativo entre 1   e   3 temos que atribuir o sinal à integral.

Passo 3

Agora vamos resolver, a primitiva vai ser a mesma nos 3 casos.

x 3 3 - 4 x 2 2 + 3 x

A diferença vai estar quando aplicarmos os limites de integração

x 3 3 - 4 x 2 2 + 3 x 0 1 = 1 3 - 2 + 3 = 4 3

x 3 3 - 4 x 2 2 + 3 x 1 3 = 9 - 18 + 9 - 1 3 + 2 - 3 = - 4 3

x 3 3 - 4 x 2 2 + 3 x 3 4 = 64 3 - 32 + 12 - 9 + 18 - 9 = 4 3

Passo 4

Substituindo agora os resultados das integrais na expressão

∫ 0 4 x 2 - 4 x + 3   d x = ∫ 0 1 x 2 - 4 x + 3   d x - ∫ 1 3 x 2 - 4 x + 3   d x + ∫ 3 4 x 2 - 4 x + 3   d x    

∫ 0 4 x 2 - 4 x + 3   d x = 4 3 - - 4 3 + 4 3    

∫ 0 4 x 2 - 4 x + 3   d x = 12 3 = 4    

Resposta

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