Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as integrais definidas abaixo. Sugestão: veja que todas as integrais indefinidas necessárias já foram calculadas no exercício 7 da lista de exercícios 4.2

f )   ∫ - 2 0 e x - 4 e x + 1 + 3.2 x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Essa questão é da lista 4.3 e pergunta para calcular essa integral aqui:

∫ - 2 0 e x - 4 e x + 1 + 3.2 x d x

e foi dado uma sugestão: que usássemos o resultado da integral indefinida no exercício 7 da lista 4.2

Bom, mas o que uma coisa tem a ver com a outra? É que a integral indefinida não tem limites de integração. Já a integral definida tem limites, e após integrar a função (com as técnicas que já vimos na lista 4.2) precisamos substituir os limites no resultado que encontramos

Por exemplo, digamos que F é a primitiva da função f , e queremos saber a integral de f no intervalo fechado [ a , b ] :

∫ a b f ( x ) d x = F a - F ( b )

Tudo bem até aqui?

Então a ideia é resgatar o resultado da integral indefinida lá do exercício 7 da lista 4.2 e aplicar os limites de integração dados! Lembrando que o resultado é a primitiva aplicada no limite superior menos no limite inferior!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Resgatando o resultado da questão 7(g) da lista 4.2:

A integral definida que queremos calcular é

∫ - 2 0 e x - 4 e x + 1 + 3.2 x d x

Então vamos usar o resultado obtido (retirando aquele “ + C ” do final, porque estamos calculando uma integral definida) e aplicar nos limites de integração:

∫ - 2 0 e x - 4 e x + 1 + 3.2 x d x

= e x 1 - 4 e + 3 ln ⁡ 2   2 x 0 π / 4

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos aplicar os limites:

∫ - 2 0 e x - 4 e x + 1 + 3.2 x d x

= e 0 1 - 4 e + 3 ln ⁡ 2   2 0 - e - 2 1 - 4 e + 3 ln ⁡ 2   2 - 2

Reagrupando os termos e simplificando temos o seguinte:

= 1 - 4 e + 3 ln ⁡ 2 - 1 - 4 e e 2 + 3 4 ln ⁡ 2 = 1 - 4 e 1 - 1 e 2 + 3 ln ⁡ 2 1 - 1 4

= 1 - 4 e 1 - 1 e 2 + 9 4 ln ⁡ 2

Beleza? E é isso! O resultado dessa integral definida é 1 - 4 e 1 - 1 e 2 + 9 4 ln ⁡ 2 !

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

1 - 4 e 1 - 1 e 2 + 9 4 ln ⁡ 2

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