Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as integrais definidas abaixo. Sugestão: veja que todas as integrais indefinidas necessárias já foram calculadas no exercício 7 da lista de exercícios 4.2

c )   ∫ 0 1 x + x 3 + x 4 / 5 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Essa questão é da lista 4.3 e pergunta para calcular essa integral aqui:

∫ 0 1 x + x 3 + x 4 / 5 d x

e foi dado uma sugestão: que usássemos o resultado da integral indefinida no exercício 7 da lista 4.2

Bom, mas o que uma coisa tem a ver com a outra? É que a integral indefinida não tem limites de integração. Já a integral definida tem limites, e após integrar a função (com as técnicas que já vimos na lista 4.2) precisamos substituir os limites no resultado que encontramos

Por exemplo, digamos que F é a primitiva da função f , e queremos saber a integral de f no intervalo fechado [ a , b ] :

∫ a b f ( x ) d x = F a - F ( b )

Tudo bem até aqui?

Então a ideia é resgatar o resultado da integral indefinida lá do exercício 7 da lista 4.2 e aplicar os limites de integração dados! Lembrando que o resultado é a primitiva aplicada no limite superior menos no limite inferior!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Resgatando o resultado da questão (c) 7ª da lista 4.2:

A integral definida que queremos calcular é

∫ 0 1 x + x 3 + x 4 / 5 d x

Então vamos usar o resultado obtido (retirando aquele ' + C ' do final, porque estamos calculando uma definida) e aplicar nos limites de integração:

∫ 0 1 x + x 3 + x 4 / 5 d x = 2 3 x 3 + 3 4 x 4 3 + 5 9 x 9 5 0 1

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos aplicar os limites:

∫ 0 1 x + x 3 + x 4 / 5 d x = [ ∫ 0 1 x + x 3 + x 4 / 5 d x =

= 2 3 1 3 + 3 4 1 4 3 + 5 9 1 9 5 - 2 3 0 3 + 3 4 0 4 3 + 5 9 0 9 5

= 2 3 + 3 4 + 5 9 = 24 + 27 + 45 36 = 96 36 = 8 3

Beleza? E é isso! O resultado dessa integral definida é 8 3 !

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

8 3

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