Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Avalie a integral definida.

a.       ∫ 0 1 cos ⁡ π t 2 d t

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos calcular a integral definida de uma função.

∫ 0 1 cos ⁡ π t 2 d t

Gente, à primeira vista pode bater o desespero, já que a primitiva dessa função não é tão manjada, mas de agora em diante vamos usar e abusar de algumas vigarices pra contornar esses problemas menos triviais.

Podemos dizer o seguinte:

π t 2 = u

π d t 2 = d u

d t = 2 π d u

Antes de voltarmos à integral, queria dizer que podemos proceder de duas maneiras agora com relação aos intervalos de integração, vamos então resolver o problema desses dois jeitos, um no passo 1 e outro no nosso passo 2:

i. Retornar à variável original pós integração indefinida e aí sim aplicar os mesmos intervalos de integração.

O método de substituição nos auxilia de forma que alcançamos uma função mais fácil de ser integrada. No entanto é bom ficar ligado que se mudamos a variável, o intervalo de integração pode mudar também, isso vai ficar cada vez mais evidente no futuro.

∫ 0 1 cos ⁡ π t 2 d t = ∫ ? ? 2 π cos ⁡ u d u

∫ ? ? 2 π c o s ⁡ ( u ) d u = [ 2 π s e n ( u ) ] ? ?

Agora é a hora de lembrar que π t 2 = u e resgatar o intervalo de integração já conhecido.

[ 2 π s e n ( u ) ] ? ? = [ 2 π s e n π t 2 ] 0 1

[ 2 π s e n ( π t 2 ) ] 0 1 = 2 π s e n π 1 2 - 2 π s e n π 0 2

= 2 π - 0

= 2 π

Passo 2

ii. Nice família, agora vamo tentar achar esses novos intervalos de integração e resolver desse jeito paralelo:

∫ ? ? 2 π cos ⁡ u d u

Na real, é bem fácil galera, a gente só precisa ver como a nova variável se adequa aos intervalos da primeira. Se t varia de 0 a 1, temos:

a. t = 0

π t 2 = u

π 0 2 = u

0 = u

b. t = 1

π t 2 = u

π 1 2 = u

π 2 = u

Agora que descobrimos quem era nosso Pokémon, podemos dizer que a integral fica:

∫ ? ? 2 π cos ⁡ u d u = ∫ 0 π 2 2 π cos ⁡ u d u

= [ 2 π sen ⁡ u ] 0 π 2

= 2 π sen ⁡ π 2 - 2 π sen ⁡ 0

= 2 π

Receba, realmente bateu com o resultado que a gente achou antes😊

Questão encerrada pessoal 😉

Resposta

a) 2 π

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